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Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 15:33: | 
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Hallo,
Kann es sein, daß lim{n®¥} (n!^(1/n))/n = 1/e ist?
Die Folge konvergiert langsam, aber offenbar gegen diesen Wert.
Kay |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 11:07: |
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Hi Kay,
Deine Vermutung ist richtig; der Grenzwert der Folge
mit dem allgemeinen Glied
a(n) = (n!) ^ (1/n) / n stimmt mit 1 / e überein.
Am einfachsten ziehst Du für die Herleitung die
bekannte Formel von Sterling heran, die besagt,
dass p = n! asymptotisch gleich q = (n/e)^n*wurzel(2*Pi* n )
ist ,d.h. der Quotient p/q strebt gegen 1,wenn n gegen
unendlich geht.
Eine Herleitung der Stirlingschen Formel findest Du im
Archiv unter dem Stichwort „ Hierzulande“).
Mit Stirling kommt
(das erste Gleichheitszeichen steht für asymptotisch gleich)
a(n) = 1/n * n/e* (2Pi*n)^(1/2n) = 1 / e * (2*Pi*n)^(1/(2*n).
Die (2*n)-te Wurzel strebt gegen 1 für n gegen unendlich,
wie leicht zu erkennen ist.
In diesem Zusammenhang möchte ich eine nette Zusatzaufgabe stellen.
Sie lautet:
Man beweise, dass
(n +1) / [ (n!) ^ (1/n) ] < e (n = 1, 2 , 3 , ...) ist .
Lösung fakultativ !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 07:12: |
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Hi Kay,
In diesem Anhang soll die Zusatzaufgabe gelöst werden.
Eine Beschäftigung damit ist recht instruktiv und hilfreich
für Lösungsversuche bei ähnlichen Aufgaben.
Man beweise, dass
(n +1) / [ (n!) ^ (1/n) ] < e (n = 1, 2 , 3 , ...) ist .
Lösungsidee:
Wir beweisen, dass a(n) = ( n +1) ^ n / n! < e ^ n ist.
Für den Nachweis bilden wir den Quotienten
Q = a(n) / a(n-1) = [(n+1)^n / n^(n-1)] * (n-1)! / n! = (1+1/n)^n < e
Also:
a(n)= a(n)/a(n-1) * a(n-1)/a(n-2) * a(n-2)/a(n-3)…….*a(1)/a(o) < e ^ n
w.z.z.w.
MfG
H.R.Moser,megamath. |
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