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Eddie (Steinb)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 19:47: | 
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Hallo!!
Ich brauche ein leicht verständlichen (für Dummies) Beweis für folgendes:
Beweisen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks in einem Punkt schneiden. Dieser Beweis soll mithilfe von Vekoren und Skalarprodukt geführt werden.
Die Hinweise in ZAHLREICH.DE hab ich net kapiert.
Bitte dringend!!!
Vielen Dank!! |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 16:31: |
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Eddie :
Der folgende Beweis ist nicht fŸr Dummies (das wŸrde meinem Respekt fŸr die Vertreter der Informatik widersprechen) aber hoffentlich verstaendlich. Halte Papier und Griffel bereit !
A,B,C bezeichnen die Ecken und gleichzeitig
deren Ortsvektoren, a,b,c die Seitenlaengen,
ferner
C-B = au , A-B = bv , B-A = cw
die Seitenvektoren. Dabei sind u,v,w Einheitsvektoren (Laenge = 1). Offenbar ist
(1) au + bv + cw = 0.
FŸr den Schnittpunkt P der Winkelhalbierenden
durch A und derjenigen durch B gilt nun
(Geometrie !)
(2) P = A + x(w-v) = B + y(u-v)
wobei x und y Skalare sind, die wir zu bestimmen
haben. Aus (2) folgt wegen B-A = cw
cw - x(w-v) + y(u-w) = 0 (Nullvektor)
Erweitere das mit c und ersetze gemaess (1)
cw durch - (au+bv), ordne sodann alles nach u und v :
(3) [ax+(a+c)y)-ac]u + [(b+c)x+by-bc)]v = 0
Da die Richtungsvektoren u,v linear unabhaengig
(d.h.die Seiten BC und CA nicht parallel) sind,
mŸssen in (3) die beiden [ ] verschwinden.
Das ergibt 2 lineare Gleichungen fŸr x,y mit
der Loesung (Rechne nach !)
x = bc/(a+b+c) , y = ca/(a+b+c)
Setze das in (2) ein und vereinfache. FŸr den
Ortsvektor des Schnittpunktes P findest du
(4) P = (aA + bB + cC)/(a+b+c)
Dieser Ausdruck ist symmetrisch in A,B,C,a,b,c,
d.h. P liegt auch auf der Winkelhalbierenden durch C. Damit ist nicht nur die Behauptung bewiesen,
sondern auch eine Formel fŸr den Inkreismittelpunkt des Dreiecks gewonnen.
mfg
Orion |
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