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Janette
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 16:02: |
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Hallo. Ich habe ein paar Probleme mit Analysis und Grenzwertaufgaben. Wäre schön, wenn ihr mir ein paar kleine Hilfen geben könntet. Man untersuche, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechne sie gegebenenfalls. a) lim(x->0+) xx b) lim(x->0) x*(1/x) c) lim(x->1) (1-x)In(1-x3) Ich finde irgendwie keinen Ansatz, aber Analysis ist auch nicht meine Stärke. Ich kannte eigentlich nur lim(x->x0) in Verbindung mit Stetigkeit, wobei eben für jedes Xn gilt lim(n->¥) Xn = x0 , aber ich verstehe hier denn Sinn irgendwie nicht. Hoffe ich blamiere mich hier nicht mit solchen Fragen. ;-) Ciao |
Pere (Dzaic)
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 19:34: |
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Hi Janette, leider funktioniert das Hochladen von Bildern bei mir nicht, sodass ich Dir die Lösung von Teilaufgabe auf folgender HTML-Seite bereitstelle: Lösung Gruß, Pere PS: Ich nehme mal an, dass die beiden anderen Aufgaben ähnlich gelöst werden :-)) |
Lennard
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 23:05: |
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Hallo Pere, ich habe zur a) diese Überlegung (leider etwas konträr zu deiner): 1) limx®0, x>0 xa = 0a = 0 2) limx®0, x>0 bx = b0 = 1 Wenn gleichzeitig a=x=b wäre, könnte man dann entscheiden, ob nun nach 1) limx®0, x>0 xx = 0 gilt oder aber nach 2) limx®0, x>0 xx = 1 gilt? Rückfrage an Janette: wo ist das Problem bei b) lim(x->0) x*(1/x) ? x*1/x = 1 und damit gilt lim(x->0) x*(1/x) = 1 oder hast du dich vertippt? c) ("In(1-x³)" soll "natürlicher Logarithmus von 1-x³ heißen?) 1-x³ = (1-x)*(1+x+x²) => c = lim(x->1) (1-x)ln(1-x³) = lim(x->1) (1-x) *[ ln(1-x) + ln(1+x+x²) ] substituiere: z=1-x, wenn x->1, dann z->0 => x=1-z => x²+x+1=z²-3z+3 c = limz->0 z*[ ln(z) + ln(z²-3z+3) ] = limz->0[z*ln(z)] + limz->0[z*ln(z²-3z+3)] = limz->0[z*ln(z)] + [0*ln(0²-3*0+3)] = limz->0[z*ln(z)] + 0*ln(3) nun würde ich Peres Vorschlag folgen und Bernoulli/de l'Hospital anwenden: c = limz->0[z*ln(z)] = -limz->0[ln(z)/(-1/z)] (Ausdruck der Form "-¥/-¥" vorhanden, also Anwendung erlaubt) u(z)=ln(z), v(z)=-1/z => u'(z)=1/z, v'(z)=1/z² = -limz->0[1/z / (1/z²)] = -limz->0[z²/z] = -limz->0[z] = 0 |
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