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Beitrag |
    
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 13:04: | 
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H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 16:41: |
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Hi Kay,
Die Integrale ,welche in den Berechnungen für die Bogenlänge
der Sinuskurve und für diejenige der Lemniskate auftreten, sind
beide elliptische Integrale.
a) Die Sinuskurve y = sin x für x = 0 bis x = Pi
Für das Bogenelement ds erhalten wir:
ds = wurzel (1 + y’^2)*dx = wurzel [1 + (cos x)^2 ]*dx =
wurzel [2 – (sin x ) ^2]*dx = wurzel (2) * wurzel [1 – (sin x)^2 / 2 ]*dx
Für das bestimmte Integral, untere Grenze 0, obere Grenz Pi , kommt
Bogenlänge S = wurzel(2)* E [Pi, 1 / wurzel(2)]
E ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung .
Allgemein lautet ein solches Integral:
int [wurzel{1-k^2*(sinx)^2} * dx] ,untere Grenze 0, obere Grenze phi =
E (phi,k).
°°°°°°°°°
Ich muss aus Zeitgründen leider hier abbrechen.
Ich hoffe ,dass ein Kollege den Rest der Aufgabe löst.
Empfehlung:
Man stelle die Lemniskate in Polarkoordinaten dar.
Mit freundlichen Grüßen,
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 11:46: |
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Hi Kay,
Die Polarkoordinatendarstellung der gegebenen Lemniskate lautet :
r ^ 2 = cos(2 phi) mit r als Radiusvektor und phi als Phasenwinkel,
°°°°°°°°°°°°°°°°°°.
wobei die x-Achse ususgemäss als Polarachse auftritt.
Als Bogenelement dient
ds = wurzel[( r `) ^ 2 + r ^ 2] * d(phi) , r` ist die Ableitung von r nach phi.
Aus 2 * r * r` = - 2 * sin(2 phi) folgt r` = - 1 / r * sin(2 phi) =
- sin(2 phi) / wurzel [cos(2 phi)]
Damit erhalten wir für die Quadratsumme in der eckigen Klammer:
[..] = cos(2 phi) + {sin(2 phi)}^2 / cos(2 phi) = 1 / {cos( 2 phi )}^2
Für das Bogenelement ds kommt:
ds = [1 / cos(2 phi)] * d(phi)
Wir integrieren von phi = 0 bis phi = Pi / 4 und erhalten mit dem
bestimmten Integral J damit den vierten Teil der Gesamtlänge L
der Lemniskate:
J = L / 4.
Es ist zweckmässig, für die Berechnung von J eine Substitution
durchzuführen, nämlich:
cos(2 phi) = {cos(t)}^2, daraus sin (2 phi)* d(phi) = cos t * sin t *dt
Die untere Grenz des transformierten Integrals ist 0 , die obere Pi/2.
Wir erhalten mit diesen Grenzen das bestimme Integral
J = int [{cos t * sin t * dt}/{sin(2 phi) * cos t) ]
sin (2 phi ) muss noch ersetzt werden.
Es gilt
[sin(2 phi)] ^ 2 = 1 – [cos(2 phi)] ^ 2 = 1 – [cos(2 t )] ^ 4
Der Integrand f(t) von J lautet somit:
f(t) = sin t / wurzel [1- {cos t }^ 4]
f(t) lässt sich noch vereinfachen, wenn man
die Formel 1- (cos t)^4 = (1 – (cos t)^2) * (1+ (cost)^2) benützt;
Wir bekommen:
f(t) = 1 / wurzel [1+ (cos t) ^ 2 ] =
1 / wurzel(2) * 1 / [1 – ½*(sin t)^2]
Klarer Fall: es entsteht ein elliptisches Integral erster Gattung.
J = 1 / wurzel(2) * F( Pi/2 , k) mit k^2 = ½ , k = 1/ wurzel(2)
Für die gesamte Bogenlänge erhalten wir mit Maple den
numerischen Wert
L = 4*J = 5,244115106
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Nachtrag
Für die Bogenlänge S der Sinushalbwelle kommt die Näherung
S = 3,820197788.
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Auftrag:
Berechne den Term T = L ^ 2 – 2 * L * S + 4* Pi
Resultat bitte ins Board stellen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 13:17: |
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Hi Kay,
Wir wollen nun in einem dritten Teil Deine Aufgabe fertig
lösen.
Für die Werte der elliptischen Integrale erster und zweiter
Gattung verwenden wir im folgenden die Schreibweise,
wie sie im Maple-System auftritt.
Nach dieser Version gilt für die Bogenlänge S der halben
Sinuswelle :
S = 2 * wurzel(2) * v , mit
v = EllipticE(1/sqrt(2))
Für die gesamte Bogenlänge L der Lemniskate kommt:
L = 2* wurzel(2) * u , mit
u = EllipticK(1/sqrt(2)).
Die Zahlenwerte für S und L findet man in meiner
vorangehenden Arbeit.
Der Term T, der dort angegeben ist, wird mit Maple zu
T = 10 ^ -8, sodass man vermutet, es gelte
T = L ^ 2 – 2 L * S + 4* Pi = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° ,
was tatsächlich auch zutrifft.
Der Term T ist aus Deiner Relation mit s und l entstanden,
wenn man diese wurzelfrei schreibt.
Wir erhalten exakt T = 0, indem wir von einer wenig
bekannten Beziehung zwischen den elliptischen
Integralen erster und zweiter Gattung u und v Gebrauch
machen.
Diese Beziehung lautet:
u * ( 2 * v – u ) = ½ * Pi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ein Beweis dieser Beziehung wäre zu aufwändig ,also
lassen wir es gut sein !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 11:48: |
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Hi MegaMath!
Erst einmal vielen Dank für die sehr schnelle und umfangreiche Antwort.
Im Prinzip soll die Aufgabe in zwei Teilprobleme zerfallen, bei der ich zumindest das erste nicht hingekriegt habe:
1.
Es soll gezeigt werden, daß sich L/4 vereinfacht schreiben läßt als
L/4 = INT{0,1} [dx / wurzel (1 - x^4)],
was sich tatsächlich aus deinem angegebenen Integral der Funktion
f(t) = sin t / wurzel [1 - (cos t)^ 4]
durch Substitution x = cos t ergibt. Allerdings habe ich ausschließlich die Bogenlängenformel für kartesische Koordinaten verwendet. Dabei ergab sich leider ein Integral, daß sich in keinster Weise vereinfachen ließ.
Frage: Erhält man obiges Integral auch ohne Verwendung der Polardarstellung? (Mit der Polardarstellung kenne ich mich nicht so gut aus.)
2.
Hat man das Integral aus 1., braucht man "nur noch" eine Verbindung zu
S/2
= INT{0,p/2} [wurzel(1 + (cos z)^2) dz] {Bogenlängenformel}
= INT{0,1} [wurzel((1 + x^2)/(1 - x^2)) dx] {durch Subtitution x = cos z}
herzustellen - übrigens mit dem Hinweis auf Verwendung besagter elliptischer Integrale.
Ich hab's versucht:
S/2
= INT{0,1} [wurzel((1 + x^2)/(1 - x^2)) dx]
= INT{0,1} [(1 + x^2)/wurzel(1 - x^4) dx] {unter der Wurzel mit (1 + x^2) erweitert}
= INT{0,1} [1/wurzel(1 - x^4) dx] + INT{0,1} [x^2/wurzel(1 - x^4) dx]
Jetzt muß man nur noch einen Zusammenhang zwischen den letzten beiden Integralen herstellen - und tatsächlich:
Unter diesem Link
hat jemand einen interessanten Beitrag zum Thema geleistet!
Es ergibt sich also wahrhaftig S/2 = L/4 + p/L, umgeformt die gesuchte Formel.
Leider kann ich mir heute deine Ausführungen nicht in Ruhe ansehen (habe noch ausstehende Übungen für nächste Woche...), wenn ich Fragen habe, werde ich mich bestimmt melden.
Mit vielen Grüßen
Kay |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 22:25: |
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Hi Kay,
Bei der folgenden Herleitung der Beziehung
L ^ 2 – 2 * L * S + 4 * Pi = 0 …………………………………..(I)
nehme ich Bezug auf eine von Dir erwähnte Arbeit vom
27.November 2001, nach welcher für die beiden bestimmten
uneigentlichen Integrale
untere Grenze 0 , obere 1
J2 = int [x^2 / wurzel(1- x^4) * dx ] ,
(dieselben Grenzen )
die Beziehung gilt :
J1 * J2 = ¼ * Pi ...................................................................……(II)
Zunächst stellen wir die in den letzten Arbeiten
berechneten Bogenlängen L und S der Lemniskate und
der halben Sinuswelle durch Integrale mit (1-x^4) unter
einer Quadratwurzel dar.
Im Integral für L substituieren wir x = sin t, dx = - sin t * dt.
Es kommt:
L = 4* int [sin t / wurzel [1 –{cos(t)}^4] * dt,
untere Grenze 0, obere Grenze ½*Pi
L = 4* int [1 / wurzel(1- x^4) * dx ], untere Grenze 0 , obere 1,
also: L = 4 * J1,andersherum:
J1 = ¼ * L...................................................................................(III)
Analog gehen wir mit dem Integral für S um:
S = 2 * int [wurzel[1+{cos(t)}^2]]
(untere Grenze 0, obere Grenze ½*Pi)
S = 2*int [wurzel(1+x^2) / wurzel(1-x^2) *dx
(untere Grenze x = 0 , obere x = 1)
S =2 * int [{ 1 + x^2 } / wurzel ( 1- x ^ 4 )] * dx =
= 2 *{ int [1 / wurzel(1- x^4) * dx ] + int [x^2 / wurzel(1- x^4) * dx ,
somit:
S = 2* { J1 + J2 }……………………………………………..(IV)
Aus (II) folgt:
J2 = ¼ * Pi * 1/J1, aus (III):
J2 = ¼ * Pi * 4 / L = Pi / L
Dies setzen wir in (IV) ein; es kommt
S = 2* {1/4 * L + Pi / L )
Brüche weg !
4 * L * S = 2* L^2 + 8* Pi oder
L^2 – 2 * L * S + 4 * Pi = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
womit (I) bewiesen ist
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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