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Jürgen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 11:04:   Beitrag drucken

Suche:Int t^4*(1-t)^4/(1+t)^2 dt
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Beach
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 15:13:   Beitrag drucken

I = ò t^4*(t-1)^4 *1/(1+t)^2 dt

gesucht sei zunächst die Stammfunktion von 1/(1+t)², die ist -1/(1+t)

damit partiell integrieren:
I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] - ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) * (-1/(1+t)) dt

I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] + ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) /(1+t) dt

sei J = ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) /(1+t) dt


4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³ ausmultiplizieren:
= 4t^3 -20t^4 +36t^5 -28t^6 +8t^7

=> J = ò (8t^7 -28t^6 +36t^5 -20t^4 +4t^3)/(1+t) dt

Polynomdivision:
(8t^7 -28t^6 +36t^5 -20t^4 +4t^3) : (t+1) = 8t^6 -36t^5 +72t^4 -92t^3 +96t^2 -96t +96 -96/(t+1)

=> J = ò (8t^6 -36t^5 +72t^4 -92t^3 +96t^2 -96t +96 -96/(t+1) ) dt
= [(8/7 t^7 -6t^6 +72/5 t^5 -23t^4 +32t^3 -48t^2 +96t -96ln|t+1| ]

=> I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] + [(8/7 t^7 -6t^6 +72/5 t^5 -23t^4 +32t^3 -48t^2 +96t -96ln|t+1| ]

nun noch zusammenfassen...

I = (t^8/7 -6t^7/7 +12t^6/5 -23t^5/5 +8t^4 -16t^3 +48t^2 +96t)/(1+t) -96ln|1+t|

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