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Vanessa P. (Vanessa21)
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Dezember, 2001 - 20:22: | 
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Hallo!
Ich hätte ein paar wichteige Fragen:
Sei V:= {id;(12)(34);(13)(24);(14)(23)).
a) Wie untersuche ich nun, ob V eine Untergruppe von S_4 ist?
b) Wie beweise ich, dass jede Gruppe der Ordnung 4 entweder isomorph zu V oder zu Z/4Z ist?(Z ist die Menge der ganzen Zahlen).
c) Ist V eine normale Untergruppe (Normalteiler)?
d) K <= V ist eine zyklische Untergruppe, die durch (12)(34) erzeugt wird.
Ist K normal in V?
Ist K normal in S_4?
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!
mfg
Vanessa |
M_Nater
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 19:41: |
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a) Die Kleinsche Vierergruppe V ist Teilmenge der S4 und ist auch bzgl. Multiplikation abgeschlossen, d.h. zwei bel. Permutationen aus V sind wieder in V
b) z.B. über Gruppentafel: es gibt nur zwei Möglichkeiten, eine der beiden ist isomorph zur Z4, die andere zur V (die ist isomorph zur Z2xZ2). Evtl. auch über die Betrachtung der Elementordungen möglich: Z4 hat Element der Ordnung 4, Z2xZ2 nicht, aber nach Lagrange muß jede Elmentordnung ein Teiler der Gruppenordnung sein (bei endlichen Gruppen!).
c) V ist normal in S4, da ???
Ich denke mal: die V enthält alle Elemente der Ordnung 2 aus S4 und da die Elemente aus V zueinander konjugiert sind, bleibt unter Konjugation ein Element aus V in V, d.h. wird nur auf ein anderes Element aus V abgebildet.
d) K hat die Ordnung 2 => V/K hat den Index 2 => K ist Normalteiler von V.
Um nachzuweisen, daß eine Ugr K Normalteiler in G ist, wähle k aus K bel., g aus G bel. und zeige: gkg-1 ist wieder in K. Wählt man also z.B. g=(123) aus S4, dann ist für k=(12)(34) gkg-1nicht in K => K nicht NT in S4 |
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