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Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 11:59: | 
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Hallo ihr Lieben.
Wieder einmal sitze an LA und stelle immer wieder fest, dass es einfach Aufgaben gibt mit denen ich wirklich nichts anfangen kann.
Hier erst einmal die Aufgabe:
Betrachte die Menge
S + := { A aus M2(K) | At = A }. S - := { B aus M2(K) | Bt = -B }.
(symmetrische bzw. antisymmetrische Matrizen)
Für welche Körper K ist M2(K) = S + o+ S - ?
Also ... ich weiss ehrlich gesagt nicht viel über komplementäre Mengen, wenn es hier überhaupt darum geht!?! Könnt ihr mir vielleicht sagen wie ich hier vorgehen kann oder mir einen Ansatz geben?
Ich danke schon mal im vorraus!
Adriana |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Dezember, 2001 - 16:40: |
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Adriana :
S^(+) und S^(-) sind Unterraeume von M_2(K), und es gilt
S^(+) geschnitten mit S^(-) = {0}
Die Frage ist daher : Laesst sich jede Matrix M aus M_2(K) als Summe M = A + B mit A^t=A und B^t=-B schreiben ? FŸr gegebenes
M = [[a b],[c d]]
(lies zeilenweise) machen wir den Ansatz
A=[[x,y],[y z]] , B = [[0 -v],[v 0]]
Wie du siehst, sind x,y,z v dadurch eindeutig
bestimmt, falls die Charakteristik von K ungleich
2 ist.
mfg
Orion |
Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 09:53: |
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Hallo Orion!
Tut mir sehr leid, dass meine Antwort erst so spät kommt!
Deinen Ausführungen kann ich bis zur Wahl der Matrizen folgen, aber woran siehst du denn, dass x,y,v,z eindeutig bestimmt sind und, dass die Charakteristik nicht 2 sein darf?
Wäre echt nett wenn du mir das kurz erläutern könntest!
Danke dir ... |
Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 11:23: |
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Habe nochmal nachgedacht!
Ich verstehe nämlich nicht das nicht:
Ist nämlich die Ckarakterisitik von K ungleich 2, so ist dim S^+=2, dim S^-=1.
dim M2(K)= 4. Das passt also nicht zusammen.
Für char K=2 ist dim S^-=2, das passt zwar, aber in solchen Körpern ist "+" das gleiche wie "-". Dann ist S^+=S^-.
Das geht dann also von daher wieder nicht.
Oder mache ich hier einen Denkfehler?
Danke |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 16:08: |
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Adriana :
Der Ansatz A + B = M führt auf
x = a , z = d , y - v = b , y + v = c
Wenn char(K) <> 2 , so ergeben die beiden
letzten Gln. eindeutig
y = (c+b)/2 , v = (c-b)/2
Andernfalls : 0 = y+y = b+c , 0 =v+v = c-b
==> b = c.
Ich denke, dass in jedem Fall dim S^(+) = 3,
denn wir haben 3 unabhaengige Eintraege a,b=c,d.
mfg
Orion |
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