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Beitrag |
    
Sharon (Sharon)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 11:15: | 
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Hi!
Ich habe wieder mal ein relativ grosses Problem mit LA. Ich bilde mir immer wieder ein ich hätte etwas verstanden, doch wenn ich anfangen will das Verstandene anzuwenden, dann versage ich!!!
Die Aufgabe sieht eigentlich gar nicht so schwer aus, aber meine Matrix stimmt nie!
Es sei j: R2 -> R2 die Spiegelung der Ebene R2 an der Geraden {x | ax1 + bx2 = 0}, 0 ¹ (a,b) aus R2.
j ist linear - beschreibe j durch eine Matrix A aus M2(R) jx = Ax
Okay ... wie kreiere ich denn die Darstellungsmatrix genau? Ich würde mich über eine kleine Hilfe sehr freuen.
Bis dann! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 15:30: |
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Hi Sharon,
Hier die gewünschte kleine Hilfe.
Ich empfehle Dir, parallel zu meinen Ausführungen eine kleine
Skizze in einem (x1,x2)-Koordinatensystem zu kreieren.
Zeichne die Basiseinheitsvektoren e1 , e2 auf den Achsen x1,x2
ein.
Lege durch den Nullpunkt O die Spiegelungsachse s, die mit der
positiven x1-Achse den Richtungswinkel phi bildet
(wähle für die Zeichnung phi z.B. 30°)
Spiegele den Vektore e1 an s, Resultat : Vektor u
Spiegele den Vektore e2 an s, Resultat : Vektor v
u und v sind beides wiederum Einheitsvektoren
u weist den Richtungswinkel alpha1 = 2*phi auf (Winkel mit x1)
v weist den Richtungswinkel alpha2 = 270° + 2* phi auf (Winkel mit x1)
Wesentlich sind nun die x1 und x2 Komponenten der Vektoren
u und v, die wir mit Hilfe ihrer Richtungswinkel berechnen.
Der Vektor u liefert :
1.Komponenete: a11 = 1 * cos(alpha1) = cos (2*phi)
2.Komponenete: a21 = 1 * sin(alpha1) = sin (2*phi)
Diese Werte machen der Reihe nach die erste Zeile der gesuchten
Abbildungsmatrix A aus.
Der Vektor v liefert :
1.Komponenete: a12 = 1 * cos(alpha2) = sin (2*phi )
2.Komponenete: a22 = 1 * sin(alpha2) = - cos (2*phi)
Diese Werte machen der Reihe nach die zweite Zeile der gesuchten
Abbildungsmatrix A aus.
Als letzte Aufgabe bleibt noch, den Richtungswinkel phi aus
der Koordinatengleichung a x1 + b x2 = 0 von s zu ermitteln, d.h
cos(2*phi) und sin (2* phi) sind durch a und b auszudrücken
Bei Bedarf werde ich diese Ergänzung noch durchführen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 15:55: |
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Hi Sharon,
Eine Nachlieferung in Form einer Korrektur:
Richtig muss es am Schluss heissen:
Der Vektor u liefert :
1.Komponenete: a11 = 1 * cos(alpha1) = cos (2*phi)
2.Komponenete: a21 = 1 * sin(alpha1) = sin (2*phi)
Diese Werte machen der Reihe nach die erste KOLONNE der gesuchten
Abbildungsmatrix A aus.
Der Vektor v liefert :
1.Komponenete: a12 = 1 * cos(alpha2) = sin (2*phi )
2.Komponenete: a22 = 1 * sin(alpha2) = - cos (2*phi)
Diese Werte machen der Reihe nach die zweite KOLONNE der gesuchten
Abbildungsmatrix A aus.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Dijana
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 20:03: |
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Hi H.R.Moser,megamath!
Könntest du mir das noch etwas näher erläutern, wie man den Richtungswinkel phi ermittelt.
Ich wäre dir sehr dankbar dafür.
Bis dann! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 10:58: |
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Hi Dijana,
Unter dem „Richtungswinkel phi “ einer Geraden s verstehen
wir den Winkel zwischen der positiven x-Achse und s
in dieser Reihenfolge.
Stimmt der Drehsinn des Winkels mit dem Gegenuhrzeigersinn
überein ,wird phi positiv, andernfalls negativ.
phi ist bis auf Vielfache von360° bestimmt.
Wähle in Deiner Zeichnung diesmal für den Richtungswinkel
der Spiegelungsachse s den Zahlenwert phi =120°.
Dann ist s eine Ursprungsgerade, die im 2. und 4.Quadrant verläuft.
Das Spiegelbild u des Einheitsvektors e1 ={1;0} auf der x-Achse
ist (im Beispiel) ein Einheitsvektor im 3. Quadrant ;
der zugehörige Richtungswinkel ist alpha1 = 2 * phi = 240 °
Wir berechnen sofort seine Koordinaten a11 und a21, welche der
Reihe nach die Plätze eins und zwei in der ersten SPALTE der
Abbildungsmatrix A einnehmen.
a11:Komponente oder Koordinate in der x-Richtung:
a11 = cos(2*phi)
°°°°°°°°°°
a21:Komponente oder Koordinate in der y-Richtung:
a21 = sin(2*phi)
°°°°°°°°°°
Das ist recht einfach .Etwas heikler ist der nächste Schritt
Das Spiegelbild v des Einheitsvektors e2 ={0;1} auf der y-Achse
ist (im Beispiel) ein Einheitsvektor im 2. Quadrant ;
der zugehörige Richtungswinkel ist alpha2 = 2 * phi – 90° = 150 °
Wir berechnen sofort seine Koordinaten a12 und a22, welche der
Reihe nach die Plätze eins und zwei in der zweiten SPALTE der
Abbildungsmatrix A einnehmen.
a12: Komponente oder Koordinate in der x-Richtung:
a12 = cos(2*phi - 90°);
es folgt eine kleine goniometrische Umformung
mit Hilfe der Formeln cos (- t) = cos t, cos(90°- t) = sin t
somit:
a12 = cos(90°- 2*phi) = sin ( 2* phi)
°°°°°°°°°°°°
a22:Komponente oder Koordinate in der y-Richtung:
a22 = sin( 2*phi – 90° )
es folgt wiederum eine kleine goniometrische Umformung
mit Hilfe der Formeln sin (- t) = - sin t, sin (90° - t) = cos t
somit:
a22 = - sin(90°- 2*phi) = - cos (2*phi)
°°°°°°°°°°°°°°
Anmerkung
In meiner letzten Arbeit wurde der Winkel alpha 2 = 270° + 2 * phi
statt 2* phi – 90° verwendet.
Die beiden Versionen sind durchaus kompatibel, da sie sich nur
um 360° unterscheiden, wie man leicht nachrechnet.
Ich hoffe , dass diese Ergänzungen etwas zur Klärung beitragen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 12:33: |
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Hi Dijana,
Eine kleine Ergänzung:
Beachte, dass wir den Bildvektor u des Basiseinheitsvektors e1 um –90°,
d.h. um 90° im Uhrzeigersinn, drehen müssen, um den Bildvektor v
des zweiten Basiseinheitsvektors e2 zu erhalten.
Daher ist der Richtungswinkel alpha2 von v um 90°
kleiner als der Richtungswinkel alpha1 von v :
alpha2 = alpha1 – 90° = 2 * phi – 90°
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Vektoren u und v stehen nach wie vor aufeinender senkrecht,
wie es sich gehört ; ihr Drehsinn in der Reihenfolge u, v ist jedoch
wegen einer bekannten Spiegelungseigenschaft entgegengesetzt zum
Drehsinn der Basisvektoren e1,e2 in dieser Reihenfolge.
Das sollte wiederum etwas helfen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Isabel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 14:43: |
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Hallo H.R. Moser!
Ich habe gestern ewig an dieser blöden Aufgabe gesessen, konnte aber cos(2*phi) und sin(2*phi) durch a und b nicht ausdrücken.
Ich hatte zwar ne Lösung, aber am Beispiel hat die immer versagt.
Hier ist mein Ansatz:
Mit Phytagoras erhält man sin(phi)= a/Wurzel(a^2+b^2) und cos(phi)= b/Wurzel(a^2+b^2).
Aus den Formeln sin(2*phi)=2*sin(phi)*cos(phi)
un cos(2*phi)=cos^2(phi)-sin^2(phi) erhalte ich
sin(2*phi)=2ab/Wurzel(a^2+b^2) und
cos(2*phi)=(b^2-a^2)/Wurzel(a^2+b^2).
Das müsste ich soch eigentlich nur für sin(2*phi) und cos(2*phi) in die Matrix einsetzen, oder?
Warum klappt das am Beispiel nicht???
Bitte hilf mir und allen anderen Verzweifelten noch einmal aus der Patsche!!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 20:15: |
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Hi Isabel,
Aus der Gleichung a x + b y der Spiegelungsachse s berechnen wir
ihre Steigung m = - b / a, welche mit dem Tangens des Richtungswinkels
phi übereinstimmt; es gilt somit
tan (phi) = m = - b / a.
Für die Abbildungsgleichungen benötigen wir die Werte
cos(2*phi) und sin(2*phi),ausgedrückt durch m.
Zuerst berechnen wir mit einer bekannten Formel
tan(2*phi) = 2 * tan(phi) / [ 1 – ( tan {phi}) ^ 2 ] = 2 m / ( 1 – m ^ 2 )
Daraus mit einer ebenso bekannten Formel :
{cos(2*phi)}^2 = 1 / [1 + {tan(2*phi)}^2] = 1 / [1+ (4*m^2) /(1 – m ^ 2) ^ 2 ] =
( 1- m ^ 2 ) ^ 2 / (1 + m ^ 2) ^ 2, also
cos( 2*ph ) = (1 – m ^ 2 ) / (1 + m ^ 2 );schliesslich kommt
sin( 2*phi ) = tan( 2 * phi ) * cos ( 2 * phi ) =
[(2 * m ) / ( 1 - m^2)]*[(1-m^2) / (1+m^2)] =(2*m)/(1+m^2)
Daraus entstehen die Abbildungsgleichungen bei der Abbildung von
xo/yo auf x1/y1 :
x1 = [(1-m^2)/(1+m^2] * xo + [ (2*m) / (1+m^2) ] * yo
y1 = [(2*m) / (1 +m^2] * xo – [(1-m^2)/(1+m^2)] * yo
Das gleiche Resultat erhält man auch mit elementaren
Methoden der analytischen Geometrie; nur auf mehrfachen Wunsch werde ich eine solche Herleitung ins Board stellen .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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