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Jessica (Margotjessica)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2001 - 14:13: | 
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Zeigen Sie mit Hilfe von erzeugenden Funktionen, dass die Summe unabhaengiger poissonverteilter Zufallsvariablen wiederum Poissonverteilt sind.
Vielen Dank im Vorraus. |
Grasmo (Grasmo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 12:43: |
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Hy!
Also ich habe da eine Idee. Wir schreiben die poissonverteilten ZVen als erzeugende Funktion auf. Diese unterscheiden sich (rein formal) nur durch den Parameter lambda:
phi(s) = E(s^x) = Sum(x = 0-->oo, (s^x)*(e^-lambda)*(lambda^x)/(x!)
==> phi(s_i) = Sum(x = 0-->oo, (s_i^x)*(e^-lambda_i)*(lambda_i^x)/(x!)
Wir suchen die Summe aller erzeugenden Funktionen:
Z = Sum(i = 0-->n, phi(s_i))
Aufgrund der Unabhaengigkeit kannst Du jetzt alle phi(s_i) aufsummieren. Wenn Du ein bisschen rumklammerst, kommt Du schließlich auf folgenden Term:
Z = Sum(x = 0-->oo, (s^x)*[e^-(lambda_1 + ... + lambda_n)] * [(lambda_1 + ... + lambda_n)^x] / (x!)
und das ist die erzeugende Funktion von einer poissonverteilten ZVe zum Parameter (lambda_1 + ... + lambda_n).
Falls das nicht stimmen sollte bitte ich um Berichtigung...
Hoffe, dass ich helfen konnte
Gruß
grasmo |
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