| Autor |
Beitrag |
    
Jessica (Margotjessica)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2001 - 14:08: | 
|
Auf einem Kreis seien n Punkte angeordnet. Jedes Paar von Punkten wird unabhaengig voneinander mit W'keit p durch eine Strecke verbunden. Sei X die Anzahl die Anzahl der Dreiecke, deren Ecken allesamt, auf dem Kreis liegen. Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Hinweis: Ueberlegen Sie zunaechst wieviele solcher Dreiecke entstehen koennen.
Falls jemand eine Idee hat, waere ich äußerst dankbar. |
Tyll (Tyll)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 19:40: |
|
Hi Jessica!
Mit diesen n Punkten kann man zahlreiche Dreiecke bilden, jedoch interssieren nach Aufgabenstellung nur die, welche aus den Punkten gebildet werden. Die Zahl dieser ist Sn-1 i=2(i über 2), denn für den ersten gegebenen Punkt kann man zwei beliebige andere Punkte wählen, um ein Dreieck zu bilden, also (n-1 über 2). Für den nächsten gibt es dann (n-2 über 2), denn den ersten Punkt muß man auslassen, da sich sonst immer ein Dreieck ergeben würde, das schon im vorigen Schritt gebildet wurde.
Das ergibt die obige Formel, welche sich zu (n über 3) vereinfachen läßt.
Erstmal Ende
Tyll |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 17:35: |
|
Hallo Jessica und Tyll,
dass es (n über 3) mögliche Dreieecke gibt, ist doch klar! (Es gibt (n über 3) Möglichkeiten, 3 von den n Punkten auszuwählen.)
Für jedes mögliche Dreieck beträgt die Wahrscheinlichkeit p³, dass es wirklich existiert.
Also ist der Erwartungswert der Anzahl der existierenden Dreieecke gleich
p³ * (n über 3)
(Die beiden Werter darf man tatsächlich einfach miteinander multiplizieren!) |
Tyll (Tyll)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 08:31: |
|
Hi Zaph!
Das klappt so aber nicht. Denn die Linie werden auch mehrfach genutzt. Hat man beispielsweise ein Viereck ABCD (im Uhrzeigersinn), dann braucht man tatsächlich für das erste Dreieck drei Verbindungen (z.B. ABC) für ein weiteres genügte aber schon das hinzufügen von zwei weiteren Linien, denn eine Linie wird automatisch mitgenutzt, außerdem benötige ich den letzten Punkt, um nicht dasselbe Dreieck zu erzeugen.
(z.B. ABD)
Gruß
Tyll |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 09:01: |
|
Doch, das klappt so!
Die Dreiecke seien durchnummeriert 1,2,...,(n über 3). Betrachte die Zufallsvariable X_i, wobei X_i = 1, falls das i-te Dreieck existiert, und X_i = 0, falls es nicht existiert.
Dann ist doch E(X_i) = p³ für jedes i.
Außerdem X = S i X_i
Daher E(X) = E(S i X_i) = S i E(X_i) = S i p³ = (n üner 3) p³. |
Tyll (Tyll)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 10:56: |
|
Hi Zaph, wir schon wieder!
Nun habe ich unsere unetrschiedlichen Auffasungen begriffen und gebe dir recht: Manchmal ist die Lösung eben doch einfacher als man denkt....
schönen Tag
Tyll |
|
