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Kerstin
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 15:13: |
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Hi ! Weiß jemand die Umkehrfunktionen zu den beiden Funktionen??? Bin nahe am Verzweifeln... 1) y= f(x)= e^(2x) - 1 / e^(2x) + 1 2) f(x) = ln ((x/x-1)^1/2) Hoffe auf Hilfe - vielen Dank! MfG Kerstin |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 16:56: |
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Kerstin : Mehr als Schulalgebra braucht man hier nicht : 1) Loese (e^(2x) - 1)/(e^(2x) + 1) = y zunaechst nach e^(2x) auf. Dann gibt's auch noch den ln. 2) Schreibe (1/2)*ln[x/(x-1)] = y und vertreibe den ln mittels exp. Der Rest : Siehe Vorwort. mfg Orion |
Cooksen
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 17:16: |
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Hallo Kerstin! zu 1) Substituiere in der Gleichung y = e^(2x) - e^(-2x) + 1 den Ausdruck e^(2x) durch z: y = z - z^(-1) + 1 |*z => y*z = z^2 - 1 + z Durch Umstellen erhälst Du die quadratische Gleichung: z^2 - (y-1)*z - 1 = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen: z = (1/2)*[(y-1) +/- Wurzel(y^2 - 2y + 5)] Da z = e^(2x) stets größer Null ist, fällt eine der beiden Lösungen ( -Wurzel ) weg. Rücksubstitution ergibt: e^(2x) = (1/2)*[(y-1) + Wurzel(y^2 - 2y + 5)] Daraus folgt: x = (1/2)*ln{(1/2)*[(y-1) + Wurzel(y^2 - 2y + 5)]} Der Term auf der rechten Seite ist dann die Umkehrfunktion g(y). zu 2) Ansatz: y = ln[(x/(x-1))^(1/2)] => y = -(1/2)*ln|(x-1)/x| => e^(-2y) = |(x-1)/x| Diese Gleichung löst Du nach x auf. Dabei treten wegen der Betragsstriche Fallunterscheidungen auf: 1. Fall x < 0 oder 1 < x x = e^(-2y) / [e^(-2y) - 1] 1. Fall 0 < x < 1 x = e^(-2y) / [e^(-2y) + 1] Die Terme auf der rechten Seite sind die gesuchten Umkehrfunktionen in y. Rechne lieber alles noch einmal nach. Das ist mit der heißen Nadel gestrickt. Gruß Cooksen |
Cooksen
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 22:35: |
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Ein Nachtrag, Kerstin! Ich hab übersehen, dass im zweiten Aufgabenteil die Funktion f(x) wegen der Potenz ^(1/2) im Argument des Logarithmus nur für 0 < x < 1 definiert ist. Die Fallunterscheidung und die Betragsstriche bei der Lösung sind also unnötig. Gruß Cooksen |
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