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Umkehrfunktion

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Kerstin
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 15:13:   Beitrag drucken

Hi !

Weiß jemand die Umkehrfunktionen zu den beiden Funktionen??? Bin nahe am Verzweifeln...

1) y= f(x)= e^(2x) - 1 / e^(2x) + 1

2) f(x) = ln ((x/x-1)^1/2)


Hoffe auf Hilfe - vielen Dank!

MfG Kerstin
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 16:56:   Beitrag drucken

Kerstin :

Mehr als Schulalgebra braucht man hier nicht :

1) Loese (e^(2x) - 1)/(e^(2x) + 1) = y

zunaechst nach e^(2x) auf. Dann gibt's auch
noch den ln.

2) Schreibe

(1/2)*ln[x/(x-1)] = y

und vertreibe den ln mittels exp. Der Rest :
Siehe Vorwort.

mfg

Orion
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Cooksen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 17:16:   Beitrag drucken

Hallo Kerstin!

zu 1)
Substituiere in der Gleichung
y = e^(2x) - e^(-2x) + 1
den Ausdruck e^(2x) durch z:
y = z - z^(-1) + 1 |*z
=> y*z = z^2 - 1 + z
Durch Umstellen erhälst Du die quadratische Gleichung:
z^2 - (y-1)*z - 1 = 0
Diese Gleichung hat die Lösungen:
z = (1/2)*[(y-1) +/- Wurzel(y^2 - 2y + 5)]
Da z = e^(2x) stets größer Null ist, fällt eine der beiden Lösungen ( -Wurzel ) weg. Rücksubstitution ergibt:
e^(2x) = (1/2)*[(y-1) + Wurzel(y^2 - 2y + 5)]
Daraus folgt:
x = (1/2)*ln{(1/2)*[(y-1) + Wurzel(y^2 - 2y + 5)]}
Der Term auf der rechten Seite ist dann die Umkehrfunktion g(y).

zu 2)
Ansatz: y = ln[(x/(x-1))^(1/2)]
=> y = -(1/2)*ln|(x-1)/x|
=> e^(-2y) = |(x-1)/x|
Diese Gleichung löst Du nach x auf. Dabei treten wegen der Betragsstriche Fallunterscheidungen auf:
1. Fall x < 0 oder 1 < x
x = e^(-2y) / [e^(-2y) - 1]
1. Fall 0 < x < 1
x = e^(-2y) / [e^(-2y) + 1]
Die Terme auf der rechten Seite sind die gesuchten Umkehrfunktionen in y.

Rechne lieber alles noch einmal nach. Das ist mit der heißen Nadel gestrickt.

Gruß Cooksen
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Cooksen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 22:35:   Beitrag drucken

Ein Nachtrag, Kerstin!

Ich hab übersehen, dass im zweiten Aufgabenteil die Funktion f(x) wegen der Potenz ^(1/2) im Argument des Logarithmus nur für 0 < x < 1 definiert ist. Die Fallunterscheidung und die Betragsstriche bei der Lösung sind also unnötig.

Gruß Cooksen

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