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syn
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 14:42: | 
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hallo leute, die frage mag sich zwar extrem dämlich anhören, aber ich bin informatiker und soll eine Spezifikation schreiben, mit deren hilfe man in einem dreieck fehlende winkel und seiten ausrechnen kann.
also zum bsp ist eine seite gegeben und die anliegenden winkel (also kongruenzsatz wsw). das ist ja noch einfach und funzt ja auch schon, aber das problem ist Ssw zu implementiern, vor allem weil ich nicht genau weiß welche Bedingungen dieser Satz fordert. wer erbarmt sich einem dummen informatiker zu helfen??? |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 00:39: |
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Hallo syn,
Es gibt keine dummen Informatiker.
Es gibt höchstens solche, die meinen, alles besser zu wissen und nicht fragen zu müssen. Am Ende muss sich der Nutzer dann verbiegen bis zum Geht-nicht-mehr und trotzdem stürzt alles ab.
Also frage ruhig auch weiterhin :-)
Das SsW in dem Kongruenzsatz, an dem Du verzweifelst, steht ja nicht für den Südschleswigschen Wählerverband sondern, wie Du sicher weißt - für folgende Bedingung:
zwei Dreiecke sind kongruent bzw. ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn bei zwei gegebenen Seiten und einem anliegenden Winkel eben dieser der größeren Seite gegenüber liegt.
Liegt der Winkel nämlich der kleineren Seite gegenüber, lassen sich mitunter zwei Lösungen finden oder aber gar keine.
Bedingt wird dies durch den Sinussatz, den Du ja ganz bestimmt auch kennst.
sin alpha / a = sin betha / b = sin gamma / c
Bei den Bedingungen SSS, WSW und SWS ist stets immer von den Relationen alpha/b, betha/b und
gamma/c ein Wert angegeben.
Das heißt, man muss/kann fehlende Stücke (auch) durch Anwendung des Cosinussatzes errechnen.
Und das ist oft auch besser so, denn die Sinus-Funktion ist im Bereich von 0 - 180 Grad keine ein-eindeutige Funktion, der Cosinus dagegen schon.
Jedem positiven Sinus-Wert kann ein Winkel von 0° < = x < = 90° und (180-x)° zugeordnet werden.
Bei der Bedingung SsW ist ja nun zu einer der drei Winkel/Seite-Relationen gar keine Angabe vorhanden.
Man ist also bei der Ermittlung dieser Größen auf den Sinussatz angewiesen und somit der Gefahr der Nicht-Eindeutigkeit ausgeliefert.
Angenommen, es seien die Seiten a und b sowie der Winkel alpha gegeben.
Wenn gilt, das a > b, dann muss gemäß Sinussatz auch alpha > betha sein.
Eine längere Seite kann auch nur von einem größeren Winkel "aufgespannt" werden.
Aus dem Wert sin(betha) erhält man beim Bilden des Arcus Sinus dann auch immer zwei Werte: einen, der kleienr ist als alpha, und einen, der deutlich größer ist.
Der größere Wert macht aber keinen Sinn, da einer kürzeren Seite kein größerer Winkel gegenüber liegen kann als einer anderen längeren Seite im Dreieck.
Und tatsächlich ist der resultierende größere Wert für betha stets so groß, dass alpha und betha zusammen schon mehr als 180 Grad ausmachen.
Daher die Bedingung: S s W
Wäre dagegen a < b und demzufolge alpha < betha, bei gegebenem alpha und gesuchtem betha, kann dies zwei mögliche Folgen haben:
Da betha nun größer sein muss, sind nun auf einmal BEIDE Winkel möglich, die sich aus dem Wert sin(betha) ergeben. Also sind zwei Dreiecke möglich.
Das ist immer dann der Fall, wenn das Seitenverhältnis b/a kleiner oder gleich dem Reziproken von sin(alpha) ist.
Es kann aber auch sein, dass es GAR KEINE Lösung herauskommt. Nämlich dann, wenn das Seitenlängenverhältnis b/a größer ist als der Reziprokwert von sin(alpha).
Beispiel:
a = 0,5 cm
b = 2 cm
alpha = 30°
So, und nun versuche mal die Länge der Seite b durch den Sinussatz zu berechnen:
sin(alpha) / a = sin(betha) / b
=> 0,5 / 0,5 = sin(betha) / 2
=> sin (betha) = 0,5 * 2 / 0,5 = 2
Und hast Du schon mal einen Winkel gesehen, der einen Sinus von 2 hat? :-)
Aus den Vorgaben ist also kein Dreieck konstruierbar.
Weiteres Beispiel:
a = 1,5 cm
b = 2 cm
alpha = 30°
sin(alpha) / a = sin(betha) / b
=> 0,5 / 1,5 = sin(betha) / 2
=> sin (betha) = 0,5 * 2 / 1,5 = 2/3
=> betha = 41,8° oder 138,2°
=> gamma = 108,2° oder 11,8°
=> c = 2,85 cm oder 0,61 cm
Aus den Angaben können also zwei Dreiecke konsturiert werden.
Ich hoffe, meine Erläuterungen reichten aus, um einem Info(rma)tiker etwas klar zu machen :-)
Schönen Abend noch
Justin |
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