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Feryat (Feryat)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 20:49: | 
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Hallo, hab ne Frage zu dem Thema: Die Bewegung eines Massenpunktes der Masse m mit gescwindigkeitsproportionaler Widerstandskraft wird beschrieben durch die DGL: m*(dv/dt)+kv=0
Dabei ist v(t) die Geschwindigkeit des Massenpunktes zur zeit t; x (t) beschreibt den zurückgelegten Weg; k ist eine Widerstandskoeffizient.
Betrachtet wird die Bewegung unter den Anfangsbedingungen: X(t=0)=0; v(t=0)=V0 (die null muss runter gesetzt sein)
a) Welche Dimension hat der Parameter k?
b) Zeigen Sie:
1. Die Lösung der Differentialgleichung (1) unter der Anfangsbedingung (2) lautet
v(t)=v0(runtergesetzte null) * exp (-k/m t)
2. Das zugehörige Weg-Zeit-Gesetz lautet
x/t)=m/k * v0 (runtergesetzt) * [1-exp(-k/mt)]
c) An welcher Stelle xE (runtergesetztes E) bleibt der massenpunkt stehen? |
Cooksen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 09:43: |
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Hallo Feryat!
zu a)
k*v hat die Dimension einer Kraft:
[k*v] = N = kg*m/s²
=> [k] = N/[v] = (kg*m/s²)/(m/s) = kg/s
Also hat k die Dimension Kilogramm pro Sekunde.
zu b) Teil 1
v(t) = v0*exp((-k/m)*t)
=> m * dv/dt = m*v0*(-k/m)*exp((-k/m)*t) = -k*v(t)
Also erfüllt v(t) die Differentialgleichung (1). Außerdem gilt:
v(0) = v0 (Anfangsbedingung)
zu b) Teil 2
x(t) = òv(t)dt = v0*(-m/k)*exp((-k/m)*t) + C
Die Integrationskonstante C ist dabei so zu wählen, dass die Anfangsbedingung x(0) = 0 erfüllt ist:
=> C = v0*(m/k)
=> x(t) = v0*(-m/k)*exp((-k/m)*t) + v0*(m/k)
= v0*(m/k)*(1 - exp((-k/m)*t))
zu c)
Der Massenpunkt hält zwar nie an, aber die Geschwindigkeit v(t) geht exponentiell gegen Null für t --> ¥.
Für t --> ¥ geht x(t) gegen --> v0*(m/k). Nach geraumer Zeit wird der Massenpunkt also dort zur Ruhe kommen.
Gruß Cooksen |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 09:44: |
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Feryat :
a) Die Dimension von k entnimmt man unmittelbar aus der Differentialgleichung : [k] = [m/t]
b)
1. Durch Ableiten nach t verifiziert man, dass
v(t) die Dgl. erfŸllt. Einsetzen von t = 0
ergibt v(0) = v_0.
2. Wegen dx/dt = v(t) ergibt sich x(t) aus
v(t) durch Integration nach t :
x(t) = - v(0)*(m/k)*exp(- kt/m) + C
Den Wert der Integrationskonstanten C ermittelt
man aus der Anfangsbedingung x(0) = 0.
c) Der Massenpunkt kommt der Stelle
x_E = lim [t->oo] x(t) = v(0)*(m/k)
beliebig nahe.
mfg
Orion |
Feryat (Feryat)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 18:34: |
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Bei eine freien gedämpften harmonischen Schwingung wird die Bewegung eines Massenpunkts durch die Differentialgleichung
x(mit 2 Punkten darüber)+2 delta x ( mit einem Punkt darüber + omega 0 (tiefegesezt)² x = 0 beschrieben.
Bekannt sei der Dämpfungsgrad D= delte / omega 0 (tiefgesezt) = 1
a)Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form hat x (t) = (c 1(tiefgesetzt) + c2 (tiefgesetzt) t) e (-delta t) (hochgesetzt) mit reellen Integrationskonstanten c1 (tiefegesetzt) und c2 (tiefgesetzt).
b)Bestimmen Sie c1 und c2 so, dass x(0)=1 und x (mit einem Punkt darüber) = 0 ist.
c)Für welchen Zeitpunkt wird bei dieser gedämpften Schwingung die maximale Auslenkung des Massenpunktes aus der Gleichgewichtslage angenommen.
Ich hoffe das ihr mir auch bei dieser Frage behilflich sein könnt, vielen Dank. |
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