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anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 12:45: | 
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Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Seien A, B "Element" S2 gegeben, sowie 0 < b,c,b < p. Gesucht ist ein sphärisches Dreieck (A,B,C) mit Seiten a,b,c und Winkeln a,b,c. Man zeige, dass es für C keine, eine oder zwei Lösungen gibt.
Danke! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 16:06: |
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Hi anonym,
Vom sphärischen Dreieck ABC sind zwei Seiten
b, c und ein gegenüberliegender Winkel beta gegeben.
Gesucht werden die fehlenden Stücke a , alpha und gamma.
Nach dem Sinussatz gilt
sin (gamma) = [sin (beta) / sin (b)] * sin (c) .
Bei der Berechnung von gamma ist eine Fallunterscheidung
vorzunehmen :
(I)
sin(gamma) = [sin (beta) / sin (b) ] * sin c > 1
KEINE Lösung.
(II)
sin(gamma) = [sin (beta) / sin (b) ] * sin c = 1
EINE Lösung : gamma = Pi / 2
(III)
sin(gamma) = [sin(beta) / sin (b) ] * sin c < 1
ZWEI Lösungen gamma und gamma% mit
gamma% = Pi – gamma .
zu (I):
wegen der Bedingung sin (gamma) < = 1 gibt es
keine Lösung für gamma .
Der Fall sin (gamma ) >1 kann nur eintreten, wenn
sin (gamma ) > sin (beta) ist , d.h. wenn der Gegenwinkel
derjenigen Seite b gegeben ist, die weiter von Pi/2
entfernt ist als die andere gegeben Seite c.
zu (II):
In diesem Fall gibt es genau eine Lösung gamma = Pi / 2 .
Das sphärische Dreieck ist rechtwinklig mit der Seite c
als Hypotenuse.
Zu (III)In diesem Fall gibt es zwei Lösunhen gamma und
gamma % = Pi – gamma und dami t allenfalls zwei
sphärische Dreiecke ABC.
Erst eine nähere Untersuchung zeigt, ob beide Dreiecke
auch tauglich sind.
Die noch fehlenden Stücke a und alpha werden mit den
so genannten Neperschen Analogien berechnet
(Neper oder Napier 1550 –1617; Analogie bedeutet Proportion;
siehe Formelsammlungen der Sphärik)
tan (½ a) = tan [ ½ (c- b)] * sin [ ½ (gamma + beta)] / sin [ ½ ( gamma – beta) ]
ctg (½ alpha) = tan[½ (gamma - beta) * sin[ ½ * (c+b)] / sin [ ½ *(c-b)]
Die mit diesen Formeln berechneten Wertepaare
a und alpha bezw. a% und alpha% führen je auf Lösungen,
sofern für sie die Dreiecksbedingungen erfüllt sind.
Diese lauten:
Für die Seiten:
0 < a+b+c< 2 * Pi
a<b+c, b<a+c, c<a+b
Für die Winkel:
Pi < alpha + beta +gamma < 3*Pi
alpha + beta < Pi +gamma
alpha +gamma < Pi + beta
beta +gamma < Pi + alpha
Anmerkung
Der vorliegende Bestimmungsfall SSW (Seite,Seite,Winkel)
für sphärische Dreiecke gehört zusammen mit dem polaren Fall
WWS (Winkel,Winkel,Seite) zu den unbestimmten Bestimmungsfällen
und heisst seit urdenklichen Zeiten „Casus ambiguus“
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 19:22: |
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Vielen vielen Dank!!!!!! |
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