| Autor |
Beitrag |
    
Thomas S.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 06:57: | 
|
Hallo !
Ich bräuchte da bitte Eure Hilfe !
Ist die Menge A={ sin (Pi/n) , n € N} kompakt ?
Wie zeige ich das ?
Vielen Dank im Voraus
Thomas. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 22:19: |
|
Hallo Thomas,
Kompaktheit ist (auf R bei Standardtopologie) äquivalent zu "abgeschlossen und beschränkt".
Beschränkt ist die Menge auf jeden Fall, da der Sinus nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt.
Was Abgeschlossenheit angeht, habe ich mir gerade überlegt, dass die Menge, die man erhält, wenn man aus R eine konvergente Folge mitsamt ihrem Grenzwert rausnimmt offen sein müsste. Demnach stellt eine Folge mitsamt ihrem Grenzwert eine abgeschlossene Menge dar. (Ist nicht "abgeschlossen" äquivalent zu "Grenzwert/Häufungspunkt jeder Folge aus der Menge liegt in der Menge"? Dann folgt daraus obige Behauptung. Bin nicht ganz sicher - hatte schon lange nichts mehr mit Topologie zu tun.)
Wenn obige allgemeine Überlegungen richtig sind, ist die betrachtete Menge abgeschlossen: Pi/n strebt gegen 0, somit sin (Pi/n) auch gegen 0. der Grenzwert ist als sin (Pi/1) auch in der Menge enthalten.
Grüße,
Thomas |
|
