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Karo (Karo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 09:58: | 
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Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Gegeben seien der Einheitskreis x^2+y^2=1 und der Punkt (d,0). Man bestimme
a) die Menge Hd aller Punkte der Ebene, die von beiden gleichen Abstand haben.
b) die Punktmenge H1/2, H1 und H3.
Danke! |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 18:00: |
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Hallo Karo!
Der Abstand a eines allgemeinen Punktes Z (x|y) von dem Punkt (d|0) lässt sich über den Pythagoras ermitteln. Es gilt:
a = sqrt[(d-x)²+y²]
Der Abstand des allgemeinen Punktes zum Kreis steht immer auf der Kreistangente senkrecht, genau wie eine Kreisnormale, d.h. die Verlängerung einer Abstandsstrecke geht immer durch den Kreismittelpunkt, hier also durch den Urprung. Daher kann man also auch den Abstand zum Ursprung berechnen und den Radius des Kreises (hier also 1) abziehen:
a = sqrt(x²+y²) - 1
Da der Abstand gleich sein soll, setzt man die beiden Ausdrücke für a gleich und erhält nach einigen (z.T. nicht äquivalenten) Umformungen (es kann also sein, dass nur ein Teil der Lösungsfunktion gültig ist) folgendes Ergebnis:
y = sqrt[(d²-1)*x²-(d³-d)*x+(d²-1)²/4] und
y = -sqrt[(d²-1)*x²-(d³-d)*x+(d²-1)²/4]
setze nun für die "d"s 1/2, 1 und 3 ein und Du bist fertig.
MfG, Integralgott |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 20:00: |
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Hi Karo,
Bevor Deine Aufgabe gelöst werden kann ,
sind einige Präzisierungen nötig.
Bei der von Dir erwähnten Ebene handelt es sich
schlicht und einfach um die (x,y)-Koordinatenebene,
in welcher die gesuchten Ortskurven verlaufen.
Dabei ist nicht nach den Gleichungen der Ortskurven
gefragt.
Um das Ergebnis anzudeuten: es handelt sich um eine
Hyperbel, eine Ellipse und eine Strecke in der Gestalt
einer ausgearteten Ellipse.
Was ist unter dem Abstand a eine Punktes P von einem
Kreis mit Mittelpunkt O zu verstehen ?
Antwort:
Die Gerade PO schneidet den Kreis in den Punkten S und T
Der Abstand a ist die kürzere der beiden Strecken PS und PT.
Die Gerade PO steht, wie es sein muss, auf der Kreislinie in S
und in T je senkrecht.
Wir lösen die Aufgabe für d = 3 als Muster mit Wert.
Der entsprechende Punkt auf der x-Achse sei mit F bezeichnet,
also F(3/0).
Dann gilt die Abstandsbeziehung
PF = PO – 1, somit
absoluter Betrag der Differenz ( PF – PO) gleich 1.
Die Ortskurve ist eine Hyperbel mit O und F als Brennpunkte
und M(1,5 / 0 ) als Mittelpunkt.
Der Abstand OF = 3 stimmt mit 2*e überein,
dabei stellt e = 1,5 die lineare Exzentrizität der Hyperbel dar.
Die (reelle) Halbachse a ist ½ * 1 = ½ ;die Scheitel sind
die Punkte A(2/0) und B(1/0) auf der x-Achse.
Die andere Halbachse b ergibt sich aus der Beziehung
b^2 = e^2 - a^2 zu b = wurzel(2).
Man prüfe nach, welcher der beiden Aeste der Hyperbel
als geometrischer Ort in Frage kommt.
Nützlich kann auch eine Koordinatengleichung der Hyperbel sein.
Wir wählen ein neues Koordinatensystem (X/Y)
Die X –Achse stimmt mit der x-Achse überein, die Y-Achse
geht durch den Mittelpunkt M der Hyperbel.
Die Gleichung in den neuen Koordinaten lautet:
X^2 / ¼ - Y^2 / 2 = 1 oder 8 *X ^ 2 – Y ^ 2 = 2
Zeichne den Hyperbelpunkt X = 1 , Y = wurzel(6) und
überprüfe die Abstandseigenschaft
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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