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petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 15:20: | 
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Hallo, wer kann mir folgende Aufgabe lösen:
Gesucht sind alle Polynome, die folgende Gleichung erfüllen:
f = 0 mod x-1
f = x³+x mod (x+1) (x²+x+1)
Lieben Dank!
Nofres |
petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 08:59: |
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Ich gebe einmal die ganze Aufgabe von vorne an: Gesucht ist f auch Q(x), das folgende Kongruenz löst:
f = x-1 mod x²-1 (1)
f = x+1 mod x²+x+1 (2)
Beim Lösen dieses Problems, habe ich zunächt (1) umgeformt in:
f = x-1 mod x-1 und f = x-1 mod x+1
f = 0 mod x-1 und f = -2 mod x+1
Jetzt habe ich zunächst einmal eine Lösung von g = -2 mod x+1 und g = x+1 mod x²+x+1 gesucht und folgende Lösung gefunden: g = x³+x mod (x+1) (x²+x+1). Und wie kann ich jetzt weiter rechnen???? |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 09:39: |
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Hallo, Petra!
Die Polynome a:=x-1 und b:=(x+1)(x^2+x+1) sind teilerfremd, d.h. es gibt nach dem Chinesischen Restsatz modulo ab genau ein Polynom, das die beiden Kongruenzen erfüllt. Sei g sein eindeutig bestimmter Vertreter mit deg(g)<deg(ab)=4 - dann sind die Polynome, die die Kongruenzen erfüllen, genau die Polynome f=g+abc mit c beliebig.
Wie findet man g? Zunächst sucht man eine Darstellung da+eb=1, die man ja findet (mit dem Euklidischen Algorithmus), weil (a,b)=1.
In unserem Fall findet man z.B.
d=-1/6(x2+3x+5),
e=1/6.
Aus da+eb=1 folgt:
da ist kongruent 1 modulo b und kongruent 0 modulo a,
eb ist kongruent 1 modulo a und kongruent 0 modulo b.
Also ist
h:=(x3+x)*da+0*eb=(x3+x}*da=-1/6*x6-1/3*x5-1/2*x4+1/2*x3-1/3*x2+5/6*x
eine Lösung, und Division mit Rest von h durch ab liefert
g=2/3*x3-2/3*x2+1/3*x-1/3
- und dieses g löst auch die ursprünglich verlangte Kongruenz.
Viele Grüße -
Lars |
petra (Nofres)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 21:31: |
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Hallo Lars, vielen lieben Dank für Deine schnelle Lösung. Hat mir unheimlich geholfen. Ich mache nächstes Jahr Staatexamen und fange erst gerade mit dem Lernen an.
Liebe Grüße
Petra |
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