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joana (Kallioppe)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 18:31: | 
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aufgabe: überprüfen sie ob das polynom
f(x)=x°7+x°6-x°5-x°4-x°3-x°2+x+1
die nullstellen 1,-1,i,-i hat und ermittle gegebenfals seine vielfachheit.
die vielfachheit von 1 und-1 konnte ich ohne probleme ermitteln. aber wie funktioniert das mit den komplexen zahlen?
wäre super wenn ich ganz ganz schnell antwort erhalte. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 19:38: |
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Hi joana ,
Da x = 1 und x = -1 Lösungen sind, ist das Gleichungspolynom P(x)
durch (x-1)*(x+1) =x° 2 –1 teillbar ;d a x = i und x = -i Lösungen sind,
ist das Gleichungspolynom P(x) durch (x-i)*(x+i) = x° 2 +1 teilbar.
P(x) ist somit mit (x°2-1)*(x°2+1) = (x°4-1) teilbar.
Polynomdivision Q(x) = P(x) : (x°4-1) liefert den Quotienten
Q(x) = x° 3 + x°2 – x - 1 = x°2*(x +1) – (x+1) = (x+1)*(x°2-1)
Die restlichen drei Nullstellen sind somit:
-1 ; 1 ; -1
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 07:50: |
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Hi joana,
Wir haben festgestellt, dass x = u = 1 eine doppelte Nullstelle
und x = v = -1 sogar eine dreifache Nullstelle des Polynoms
P(x)=x°7+x°6 –x°5-x°4-x°3-x°2+x+1 ist.
Wir bestätigen diesen Sachverhalt dadurch, dass wir die Ableitungen
P`(x) = 7*x°6 +6*x°5 – 5*x°4-4*x°3 –3*x°2 –2*x +1
P``(x) = 42*x°5 +30*x°4 –20*x°3-12*x°2 –6*x –2
mit einbeziehen.
Für die zweifache Nullstelle u = 1 müssen die folgenden Beziehungen
gelten:
P(u) = 0 , P`(u) = 0.............................................................................(I)
Für die dreifache Nullstelle v = -1 müssen die folgenden Beziehungen
gelten:
P(v) = 0 , P`(v) = 0 , P``(v) = 0........................................................(II)
Eine kleine Kopfrechnung zeigt: sowohl (I) als auch (II) treffen zu !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Helena
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 06:28: |
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Hi megamath!
Kaum zu glauben, 1000 tolle Beiträge!
Herzliche Gratulation dem Tausendsassa in Sachen Mathe!
vlG von Helena |
ZahlReich-Team
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 08:33: |
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Kleine Anmerkung vom ZahlReich-Team:
megamath hat Stand heute bei 1000 Fragen Beiträge geschrieben im Matheforum, sehr oft aber mehrfach zu Rückfragen Stellung genommen. Somit hat er weit mehr als 1000 Beiträge bei ZahlReich verfasst, ohne Frage mit exzellenter Ausdauer, Geduld und Qualität.
Ein Dank auch an dieser Stelle vom ZahlReich-Team! |
Rokko
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 10:34: |
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Hi megamath!
Zum Jubiläum eine Jubiläumsfrage!
Wie kann ich zeigen, daß es keine geschlossene Funktion f(x) gibt die die Bedingung f(x)=x*f''(x)
erfüllt.
Danke
Rokko |
Rokko
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 10:39: |
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Sorry Mega!
Hab mich vertippt!
Soll heißen, warum gibt es keine Funktion f(x) außer Potenzreihen und so nen Käse
für die gilt x*f(x) = f''(x) ?????????????????
Alles klar und viel Spaß mit Rokkos Jubiläumsfrage |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 14:17: |
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Hi Helena,
Hi Zahlreich - Team
Ich möchte allen meinen Gratulanten für das Wohlwollen
und die
Glückwünsche recht herzlich danken !
Mein Dank gilt auch ROKKO
für die wunderschöne DGl. zweiter Ordnung
die er mir gestiftet hat.
Ich kann nichts dafür, die allgemeine Lösung
führt in geschlossener Form
so oder so et sans fromage auf die
Besselschen Funktionen erster und zweiter Art
(Bessel I und Bessel K):
Sie lautet f(x) =c1*wurzel(x)*Bessel I [1/3,2/3*x^(3/2)] +
c2*wurzel(x)*Bessel K[1/3,2/3*x^3/2],
c1 und c2 sind, wie üblich, Integrationskonstanten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Rokko
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 16:45: |
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Hi megamath!
Angenommen, ein Schüler behauptet, eine Funktion f(x) gefunden zu haben, also keine Bessel-Funktion oder Potenzreihen etc., die die DGL f''(x) = x*f(x) erfüllt. Kann man beweisen, daß es so eine elementare Funktion nicht geben kann? Das war das eigentliche Problem an meiner Frage!
Ich habe diese Frage in der Vorlesung (Höhere Mathematik II für Maschinenbauingenieure gestellt)und keine klare Antwort bekommen. Ist der Beweis wirlkich so schwierig, daß sich alle Leute da irgendwie herauswinden oder gibt es überhaupt keinen solchen Beweis? Das soll jetzt keine Kritik an dir und diesem Board sein, ganz im Gegenteil, ich finde es megagut was du hier machst.
Danke im Voraus
Rokko |
Informatix
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 15:11: |
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Hallo Rokko,
mir ist nicht verständlich, was du eigentlich noch von megamath wissen willst! Er hat doch die Besselschen Funktionen als Lösung der DGL angeführt. Wenn du diese Funktionen in die DGL einsetzt, dann wirst du feststellen, daß die DGL dadurch erfüllt ist. Somit kann es keine elementaren Funktionen geben, die diese DGL ebenfalls erfüllen. Es kann ja auch nicht zwei verschiedene Ableitungen zu einer Funktion geben!!!!
mfg Informatix |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 18:44: |
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Hallo Rokko
Ich glaube, bei Deiner speziellen Funktion gibt es eine Dastellung mit Elementarfunktionen. Hab noch keine Zeit gefunden, die DGL zu lösen. Es soll wohl Theorien dazu geben, ob Funktionen durch Elementarfunktionen darstellbar sind. Dazu muss man definieren, welche Funktionen man als elemntar betrachtet. Soweit ich es weiß, sind das Polynome, Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen. Dann noch Addition, Multiplikation, Division und Hintereinanderausführung dieser Funktionen. Daher ist z.B. cos(cos(cos(x²-exp(x)))) eine Elementarfunktion. Ich hoffe, damit demonstrieren zu können, dass es sich sehr schwierig gestalten, zu zeigen, dass eine Funktion keine Elemntarfunktion ist. Die Beweismethoden kenne ich nicht, eine Theorie dazu gibt es jedoch, da ich schon häufig gehört habe, dass eine Stammfunktion zu exp(-x²) (wichtige Funktion in der Stochastik und Analysis) keine Elemntarfunktion ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 23:19: |
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Hallo Rokko
Mit der DGL habe ich mich vertan. Ich finde keine Elementarfunktion, die das erfüllt.
viele Grüße
SpockGeiger |
Rokko
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 11:25: |
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Hi Spockgeiger!
Wahrscheinlich wird es keine Elementarfunktion geben, jedenfalls wenn ich die Ausführungen von megamath richtig deute, oder interpretierst du seine Antwort anders? Der Beweis ist aber anscheinend nicht so ganz trivial.
Deswegen wiederhole ich meine Vermutung:
Es gibt keine Elementarfunktion die die DGL f''(X) = x*f(x) löst.
Vielleicht werde ich durch diese Vermutung ja noch berühmt!
Viele Grüße
Rokko |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 12:14: |
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Hi Rokko
Genauso meinte ich das.
viele Grüße
SpockGeiger |
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