Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Nullstellen eines Polynom geraden Grades

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Nullstellenbestimmung » Nullstellen eines Polynom geraden Grades « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Rincewind (Pstibbons)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 13:04:   Beitrag drucken

Hi,
hab mal wieder ein kleineres Problem:

Ich soll Folgendes mit dem Zwischenwertsatz beweisen: Jedes Polynom p(x) von geradem Grad n >= 2 mit an*a0 < 0 hat mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen x Î R.

Wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand 'nen Tip geben könnte...
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jan Martin Krämer (species5672)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: species5672

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 16:36:   Beitrag drucken

Da will ich doch mal meiner Leidenschaft nachkommen Aufgaben zu beantworten die schon lange keinen mehr interessieren.
Also:
Wenn an*a0<0, dann ist entweder:

1) an<0 und a0>0, oder

2) an>0 und a0<0.

Unser Polynom sieht so aus:
anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0

Fall 1:

Da n gerade ist und an<0, geht p(x) für große x gegen -¥.
Gleichzeitig ist aber p(0)>0.

Wir haben also Punkte a,b aus |R so, dass
p(a)>0 und p(b)<0.

Der Zwischenwertsatz sagt:
Für eine stetige Funktion f mit f(a)<0 und f(b)>0, existiert ein c aus [a,b] mit f(c)=0.
Tadaaa, unsere Nullstelle.

Fall 2

Da n gerade und an>0, geht p(x) für große x gegen ¥.
Da a0<0 ist aber p(0)<0.

Gleiche Überlegung mit dem Zwischenwertsatz wie eben und wir haben auch hier unsere Nullstelle.

Ach ja, Polynome sind natürlich immer stetig}
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian Schmidt (christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 17:48:   Beitrag drucken

Hi Jan

Hast du jetzt nicht nur gezeigt, dass eine Nullstelle existiert??
Gezeigt werden sollte aber, dass mindestens zwei verschiedene existieren.

MfG
C. Schmidt

(Beitrag nachträglich am 27., Juli. 2002 von christian_s editiert)
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian Schmidt (christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 17:52:   Beitrag drucken

Da du ja jetzt gezeigt hast, dass eine Nullstelle existiert, könnte man ja eine Polynomdivision durchführen und würde dann ein ungerades Polynom erhalten. Dieses hat nach dem Zwischenwertsatz auch wieder eine reelle Nullstelle. Dann hätte man zwei Nullstellen, aber wie zeigt man, dass diese verschieden sind??

MfG
C. Schmidt
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jan Martin Krämer (species5672)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: species5672

Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 18:05:   Beitrag drucken

Ich bin so eine Wurst, heute ist irgendwie nicht mein Tag.
Ich glaub ich häng mir ne große Tafel in mein Zimmer:
Lesen bevor man was schreibt.

Ich überleg mir mal was
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

maxi
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 18:38:   Beitrag drucken

Hi species 5672!
Ich finde genial was dir eingefallen ist auch wenn's nicht die Lsg zu dieser Aufgabe ist
maxi
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian Schmidt (christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 18:49:   Beitrag drucken

Vielleicht hätte ich noch ne Idee.
Angenommen es gäbe nicht 2verschiedene reelle Nullstellen. Dann wäre die vorhandene Nullstelle entweder doppelt-,vier-,...oder n-fach. Dies wiederum würde bedeuten, dass der Graph die x-Achse bei der Nullstelle nur berührt und nicht schneidet. (Was auch logisch ist, wenn es nur eine Nullstelle gibt. Die Funktion verläuft also entweder komplett im Negativen oder komplett im Positiven, was an*a0<0 widerspricht.
Keine Ahnung ob das stimmt...

MfG
C. Schmidt
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jan Martin Krämer (species5672)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: species5672

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 22:57:   Beitrag drucken

Ja, genau das ist die Idee dabei.

Eigentlich folgt es auch mit einem kurzen Zusatz aus meiner (teil)Lösung:

Im Fall 1 haben wir das Intervall [0,¥] betrachtet und darauf den Zwischenwertsatz angewendet, da aber für x gegen -¥ die Funktion ebenfalls gegen -¥ geht und f(0)>0, kann man auch darauf den Zwischenwertsatz schmeißen und erhält die 2. Nullstelle aus einem anderen Intervall (Ok, die 0 ist bei beiden drin aber f(0) ist ja nach definition nicht die Nullstelle).
Beim 2. Fall macht man das ebenso.

Und die Aufgabe ist (diesmal komplett hoffe ich) gelöst.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page