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janosch
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 18:58: | 
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Brauche dringend Eure Hilfe:
1.Seien A,BeGLn(R). Beweise:
a)Es ist A * B eGLn(R), und es gilt (A * B)^-1 = B^-1 * A^-1
b) Es ist A^-1 eGLn(R), und es gilt (A^-1)^-1 = A
c) Es gilt En eGLn(R)
d) Untersuche ob die Summe zweier invertierbarer Matrizen stets wieder invertierbar ist.
Und
2. Es sei Zn(R) := {AI AeMn(R), AX=XA für alle XeMn(R)}. Beweise:
a) En e Zn(R)
b) A,B e Zn(R) => A+B e Zn(R) und A*B e Zn(R)
c)A e Zn(R) geschnitten GLn(R) => A^-1 e Zn(R)
d) Für A e M3(R) gilt: A e Z3(R) <=> es gibt ein aeR mit A=diag(a,a,a) |
Mulder
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 14:57: |
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Ich schreibe zur Abk. A' für A^-1.
1.
a) (AB)(B'A') = A(BB')A' = AIA' = AA' = I
b) A'A = I => A'' = A
c) II = I => I = I'
d) A:= I, B:= -I => (A+B) = 0 nicht in GL_n(R)
2.
a) AI = A = IA
b) (A+B)X = AX + BX = XA + XB = X(A+B)
(AB)X = A(BX) = A(XB) = (AX)B = (XA)B = X(AB)
c) A'XA'' = A'XA = (A'X)A = A(A'X) = AA'X = X
d) "<=" ist trivial
"=>" Ist AX = XA für alle X, so errechnet man leicht für die 9 Elemente
a_ij = -a_ji, indem man für X die Matrix nimmt, die nur an einer Stelle 1 und sonst 0 ist.
Also a_ij = 0 für i<>j. Entsprechend mit Zeilen/Spalten der Form (1 -1 0) erhält man a+b=a+c=b+c und damit a=b=c. |
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