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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 16:56: | 
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Hallo lieber Lars und lieber megamath!!!
Da ihr so schön die beiden anderen Aufgaben gelöst habt, würde ich Euch gern noch was fragen: Es ist nämlich noch eine dritte Aufgabe hinzu gekommen, die folgendermaßen lautet:
Modifizieren Sie den Beweis des Euklid, um zu zeigen, dass unendlich viele Primzahlen p kongruent 3 mod 4 erfüllen.
Beweis von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Angenommen, es gäbe nur die Primzahlen p1=2, p2=3, p3=5,....,pn
Definiere N=p1*p2*…*pn+1 ist durch keines der p1,p2,p3,...,pn teilbar!
ð N ist selbst Primzahl oder N besitzt Primteiler ungleich p1,p2,...,pn
ð Neue Primzahlen!
Wie würde man das Lösen! Wäre ein Ansatz, wenn man sich erst übrlegen würde, welche Primzahlen kongruent 3 modulo 4 wären? Z.B. 3,7,11,19 usw. Aber wie verfahre ich dann weiter?
Dann noch eine Frage zur 2 Aufgabe! Kann ich sie auch über Induktion lösen. Der Induktionsanfang würde ja stimmen, aber beim Schluß hab ich Probleme. Aber eigentlich müsste das doch gehen!
Vielen Dank!!
Lieber Gruß
Miriam |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 09:50: |
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Hi Miriam,
Voranzeige:
Im Laufe des heutigen Tages
werde ich Dir einen Induktionsbeweis zu
den Formeln für die Fibonacci-Zahlen vorführen.
Hoffentlich komme ich damit nicht zu spät !
Von den vier Beweisen, die Du dann zur Verfügung hast,
ist der Induktionsbeweis am besten erlernbar.
Voraussetzung dazu ist allerdings ein souveräner
Umgang mit der (r,s)-Rechnung, die ich in meiner
ersten Arbeit gezeigt habe.
Anregungen dazu und zum ganzen Fibonacci-Phänomen
ergeben sich übrigens auch durch die Kongresse,welche von den
Fibonacci-Freunden weltweit in zwangloser Folge
unter der Bezeichnung
„International Conference on Fibonacci Numbers
and Their Applications”
abgehalten werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 11:18: |
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Hi Miriam,
Hier der versprochene Induktionsbeweis zur
Fibonacci-Formel
Vorbereitung
Sei
r = ½ * ( wurzel(5) - 1 )
t = ½ * ( wurzel(5) + 1 )
Weiter dient uns
s = - r als nützlicher Term.
Die folgenden Relationen haben wir bereits nachgewiesen:
t + r = wurzel(5)...................................................................(0)
r ^ 2 = 1 – r .......................................................................... (1)
t ^ 2 = t +1............................................................................(2)
Aus (1) folgt:
s ^ 2 = s + 1...........................................................................(3)
Die Behauptung lautet dann:
Fn = F(n) = 1 / wurzel(5) * [ t ^ n - s ^ n ].............................(4)
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Beweis mit vollständiger Induktion
Verankerung:
F(1) = 1/ wurzel(5) * [t –s] = 1 / wurzel(5)* [t + r] = 1 nach (0)
F(2) = 1/ wurzel(5) * [t ^ 2 – s^2] = 1 / wurzel(5)* [t - s] = 1
nach (2) und (3),
somit:
F(2) = 1/ wurzel(5) * [t –s] = 1 / wurzel(5)* [t + r] = 1 nach (0)
Alles bestens !
Vererbung (Schluss von n-1 & n auf n+1)
Induktionsvoraussetzung.
die Formel gelte für n & n-1,d.h. es gelten die Beziehungen:
F(n) = 1 / wurzel(5) * [ t ^ n - s ^ n ]..............................(5)
F(n-1) = 1 / wurzel(5) * [ t ^(n-1) - s ^(n-1)]........................(6)
Wir wollen zeigen, dass daraus folgt;
F(n+1) = 1 / wurzel(5) * [ t ^(n+1) - s ^ (n+1) ].....................(7)
Die letzte Beziehung sagt dann aus, dass die Formel auch
für n + 1 gültig ist.
Nachweis:
nach dem Bildungsgesetz gilt:
F(n +1) = F(n) + F(n-1) =
1 / wurzel(5) * [ t ^ n – t ^ (n-1) – {s ^ n – s ^ ( n -1)} ] =
1 / wurzel(5) * [ t ^ (n-1) * ( t + 1) – s ^ (n -1) * ( s +1 ) ] =
1 / wurzel(5) * [ t^(n-1) * t ^ 2 - s ^ (n –1 ) * s ^ 2 ].........(8)
Zuletzt wurden die Gleichungen (2) und(3) gebraucht.
Aus (8) folgt unmittelbar (7) ;damit ist der Induktionsbeweis
erfolgreich beendet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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