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Dirk Purrucker (Matrixx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 15:07: | 
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Hallo, ich habe hier eine dringende Hausaufgabe mit folgender Aufgabenstellung:
Beweisen Sie den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie mit Hilfe der Vektorrechnung.
Kann mir da bitte jemand schnell helfen, da ich von Beweisen leider keinerlei Ahnung habe.
Danke, Dirk |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 22:38: |
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Hi Dirk ,
Im Dreieck ABC seien in konventioneller Art
mit a , b , c die den Ecken gegenüberliegenden
Seiten bezeichnet.
alpha ist der Innenwinkel bei A
u sei der Seitenvektor AB, v der Seitenvektor AC
w der Verbindunsvektor CB der Ecke C mit B.
Dann gilt zunächst
w = u - v
Wir quadrieren diese Vektorgleichung im Sinne
der skalaren Multiplikation, für welche das Distributivgesetz gilt
Beispiel: u.(u – v ) = u.u – u.v u.s.w.
Wir erhalten die (skalare) Gleichung
w.w = u.u – 2 * u.v + v.v
Interpretation:
Die Quadrate sind die Seitenlängen im Quadrat
w.w = a^2, u.u = c^2, v.v = b^2
Aus der Definition des Skalarprodukts folgt:
u.v = abs (u) * abs(v) * cos(alpha) = c * b * cos(alpha)
Setzt man dies alles ein, so steht die Formel des
Kosinussatzes da:
a^2 = c^2 + b^2 – 2 * c * b * cos (alpha )
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