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Beitrag |
    
Maria
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 12:41: | 
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..., zumindest für mich sind folgende!
1.)a)Auf wie viele Arten kann man 20 gleiche Kugeln auf 5 verschiedene Schubfächer verteilen?
b) Bei wie vielen dieser Verteilungen bleibt kein Schubfach leer?
c) Auf wie viele Arten kann man eine natürliche Zahl n größer-gleich 5 als Summe von 5 natürlichen Zahlen schreiben.
2) Eine Klasse mit 24 Kindern wird zufällig in 4 gleich große Gruppen eingeteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehören die Freundinnen Pia und Anne zur gleichen Gruppe?
Hilfe wäre
SUUUUUUUUUUUPER!!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 12:23: |
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Hi Maria,
Lösung der ersten Aufgabe
a)
Es seien s Kugeln und n Schubfächer gegeben.
Da man jede der Kugeln auf n Arten unterbringen kann,
gibt es insgesamt
n ^ s Möglichkeiten
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b)
Der Binomialkoeffizient n tief k sei im folgenden mit
b(n,k) bezeichnet ; es ist also
b(n,k) = n! / [(n-k)!*k!]
Um den Ueberblick zu bekommen, lösen wir zunächst das
Zahlenbeispiel mit s = 5 Kugeln und n = 3 Schubfächern
und zwar auf zwei verschiedene Arten.
i)
Zurückführung auf Permutationen mit Wiederholungen
ii)
Verwendung des Prinzips des Ein- und Ausschaltens
( Bitte : Grundlagen der einschlägigen Literatur entnehmen ! )
i)
Beachte, dass für die Zahlen (u1,u2,u3) die folgenden
Möglichkeiten bestehen:
(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)
Die Summe der Zahlen in jeder Klammer ist s = 5
(3,1,1) bedeutet: im ersten Fach sind 3 Kugeln,
im zweiten 1 Kugel, im dritten 1 Kugel.
Um die Gesamtzahl z der Möglichkeiten zu ermitteln,
sind 6 Zahlen zi zu berechnen, von denen jede
die Anzahl von Permutationen von 5 Elementen
mit Wiederholungen bedeutet; alsdann sind diese zi
zu summieren: z = z1+z2+z3+z4+z5+z6
z1 gehört zum Tripel (3,1,1), ..., z6 zum Tripel (1,2,2)
z1 = 5! / [3!*1!*1!] , z2= 5! / [1!*3!*1!],z3 =5! / [1!*1!*3!]
z4 = 5! / [2!*2!*1!] , z5= 5! / [2!*1!*2!],z6 =5! / [1!*2!*2!]
Wir berechnen:z1=z2=z3=20 , z4=z5=z6=30
Somit z = 150
°°°°°°°°°°°°°°°
ii)
Direkt mit einer Formel:
z = sum [(-1)^j * b(3,j)*(3-j)^5,
der Summationsindex j läuft von j = 0 bis j = 3, somit
z = 3^5 – 3*2^5 + 3*1^5 – 0^5 = 243 –96 + 3 = 150 wie unter i)
c)
Eine aequivalente Aufgabe lautet
Wie viele Lösungen hat die Gleichung
x1 +x2 + x3 + x4 + x5 = n,
wobei alle xi positive ganze Zahlen sein müssen
Zur Lösung schreiben wir auf der linken Seite lauter Einsen:
1+1+1+1+...................+1 = n (es sind n-1 Pluszeichen vorhanden)
Nun werden 4 Pluszeichen durch das Zeichen / ersetzt
Damit erhalten wir symbolisch eine Lösung
Beispiel
Sei n = 10, dann stellt
1+1/1+1+1/1+1/1+1/1 die Lösung
x1=2,x2=3,x3=2.x4=2,x5=1 dar ;
Probe 2+3+2+2+1=10
Somit ist die Anzahl z der Lösungen gleich der Anzahl Möglichkeiten,
von (n-1) Pluszeichen deren 4 durch das Zeichen / zu ersetzen.
Diese Anzahl ist
z = b( n-1 , 4), also ( n-1) tief 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für n = 10 kommt z = b( 9, 4 ) = (9*8*7*6) / (1*2*3*4) =126
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 16:08: |
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Veto Hans-Rudolph!
Bei 1a sollen die Kugeln identisch sein. Die Formel lautet b(n + s - 1,s - 1).
Bei 1b legt man in jede Schublade erst einmal eine Kugel und wendet dann Teil a mit n-s statt n an. Also gibt es b(n-1,s-1) Möglichkeiten.
Bei c kommt es darauf an, ob 0 eine natürliche Zahl ist oder nicht. Wenn die Reihenfolge der Summanden relevant sein soll, ist im Falle "0 Element IN" die Lösung in Teil a und im anderen Falle in Teil b zu finden.
Zu 2) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 5/23. Klar?
Auch schönen Gruß
Zaph |
Maria
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 16:46: |
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Danke...aber zur 1c und zur 2 bräuchte ich noch ein wenig Erklärung.
Und zur 1a...sicher b(n+s-1,s-1)? Lautet die Formel nicht b(n+s-1,s)? Daraus ergäbe sich auch für 1b) eine andere Lösung, nämlich b(n-1,s)!
Maria |
Maria
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 16:48: |
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Ach ja...ist bei Aufgabe 1a) die Anzahl der Schubfächer oder die Anzahl der Kugeln = n??? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 17:04: |
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Ja, ich habe n und s verwechselt. Also bei mir ist n = Anzahl der Kugeln, s = Anzahl der Schubfächer.
Beachte außerdem, dass b(n + s - 1,s - 1) = b(n + s - 1,n).
Zu 1c) Die Anzahlen der Kugeln in den einzelnen Schubfächern sollen die Summanden sein. Jetzt klar, was ich meinte?
Zu 2) Pia wird in Gruppe x gelost. In Gruppe x sind dann noch fünf freie Plätze. Insgesamt sind noch 23 Plätze frei. Also ist die W'keit 5/23, dass Anna in derselben Gruppe landet. |
Maria
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 17:23: |
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Zu 1a)
Also ist die Lösung b(24,20)?
1b) und hier
1c) noch nicht ganz...sorry!
2) So einfach??? Sicher?????? Gott und ich überlege mir, wie viele Verteilungen der Gruppen gibt es usw.
*kopfschüttel* |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 17:47: |
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zu 1a) ja, oder auch b(24,4) (kann man so leichter ausrechnen)
zu 1b) b(19,4) - einfach einsetzen!!
zu 1c) Nimm z.B. n=20. Die Verteilung (3,7,2,5,3) von 20 Kugeln auf die fünf Schubladen entspricht z.B. der Summe 20 = 3 + 7 + 2 + 5 + 3. Also die Anzahl der Kugeln in der ersten Schublade ist der erste Summand, die Anzahl in der zweiten Schublade der zweite Summand, usw. Jetzt klar??
zu 2) So einfach!!! Ehrlich!!!!!! *kopfnick* |
Maria
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 13:29: |
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Und, wenn die 0 Element der nat. Zahlen ist, dann muss ich das erste nehmen, weil ja auch sein kann, das eine Schublade leer ist. Ich glaube aber, sie zählt bei uns nicht dazu, also muss ich von der 1b) ausgehen. Wie viele Lösungen gibt es dann...b(n-1,s-1)?
Auf jeden Fall danke für die Hilfe und sorry für die Geduld! ;) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 13:52: |
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Ja. Probier mal ein Beispiel. Nehme das von Megamath, n = 5, s = 3
5
= 3+1+1
= 1+3+1
= 1+1+3
= 2+2+1
= 2+1+2
= 1+2+2
6 Möglichkeiten.
b(n-1,s-1) = b(4,2) = 4!/(2!*(4-2)!) = 4*3*2*1/(2*1 * 2*1) = 6. Stimmt :-) |
Maria
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 15:27: |
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Vielen lieben Dank |
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