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Dijana P.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 11:41: | 
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Hi.
Ich hoffe bei euch ist alles klar. Ich habe hier ein kleines Problem mit LA. Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und auch ein paar Überlegungen angestellt und ich würde gerne wissen, ob sie richtig sind.
1) Es sei U=<R4 der von s=(1,2,3,1) , t=(1/6,1,1,0) und u=(1,3,2,1/2) aufgespannten Unterraum. Suche eine lineare Abbildung f: R4->W mit U=kern von f.
Ich würde gerne eien Abb. R4->R4 kreieren. Dafür brauche ich ja eine minimales Erzeugendensystem, welches ich aus den linear unabh. Vektoren s=(1,2,3,1) , t=(1/6,1,1,0) , u=(1,3,2,1/2) sowie einem Vektor w=(0,0,0,1) bilde. Das sollte doch gehen, oder?!?
Ich will ja das mein Kern nicht zu groß wird und wollte deshalb s , t , u auf 0 abbilden und v auf sich selbst, so daß U auch wirklich im Kern liegt.
Dann kann ich das ja schreiben als
f ( x1 , x2 , x3 , x4 )T
= f ( x1 (1,2,3,1)T + x2 (1/6,1,1,0)T + x3 (1,3,2,1/2)T + x4 (0,0,0,1)T )
= x1 f (1,2,3,1)T + x2 f (1/6,1,1,0)T + x3 f (1,3,2,1/2)T + x4 f (0,0,0,1)T
Naja ... meine Überlegung geht noch weiter, aber das kommt mir alles so falsch vor!?!
2) Man zeige allgemein: Jeder Unterraum U=<V ist der Kern einer linearen Abbildung.
Hierzu muß ich sagen, daß ich mir da den Faktorraum vorher angeschaut hatte, aber unser Prof gemeint hat wir sollen uns das ohne den Faktorraum überlegen.
Ich wäre wirklich dankbar für eure Hilfe, auch wenn ihr mir Denkanstöße gebt und ich dann witermachen kann, aber ich jetzt keine Idee.
Dijana |
Dijana P.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 11:44: |
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Also ... ich habe versucht die Aufgabe zu lösen ... könnt ihr mir vielleicht sagen, ob das so richtig ist?
b) Die Basis von U habe ich als kanonische Basis {b1,...,bn} definiert und sie zur Basis von V durch {bn+1,...,bm} mit n<=m ergänzt.
Der erste Teil der Basis {b1,...,bn}|-> 0 , wird also auf 0 abgebildet.
Der Rest der Basis {bn+1,...,bm} |-> {bn+1,...,bm} , also auf sich selbst abbgebildet. (Ist dies so math. richtig notiert?)
Somit ist: f(w1,w2,...,wm)
= f(b1*(1,0,..,0) + ... + bn*(0,..,1,..,0) + bn+1*(0,..,1,..,0) + ... + (bm)*(0,..,0,1))
= b1*f(1,..,0) + ... + bm*(0,..,1)
= (0,..,0,bn+1,..,bn)
D.h. man kann w1,w2,...,wn beliebig wählen und sie werden immer auf 0 abgebildet.
Vielleicht habe ich einen Denkfehler, aber was passiert mit wn+1,...,wm?!?
Ist Kern von f = U , genau dann wenn
f(w1,...,wm)=0 <=> (0,...,bn+1,...,bm)=0 ???
Dann wäre ja bn+1=bn+2=...=bm=0 <=> (b1,...,bm) aus U , oder?
Ist das die Lösung zur b) ???
Wäre echt nett, wenn ihr kurz drüber schaut und mir eure Meinung mal sagt, denn ich bin mir echt nicht sicher.
Dankeschön. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 16:39: |
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Hallo Dijana,
deine Überlegungen zu Aufg. 1 verstehe ich nicht.
Wieso ist denn
f(x_1,x_2,x_3,x_4)
= f(x_1 (1,2,3,1) + x_2 (1/6,1,1,0) + x_3 (1,3,2,1/2) + x_4 (0,0,0,1))
??
Mache stattdessen folgenden Ansatz:
f(x_1,x_2,x_3,x_4) = a x_1 + b x_2 + c x_3 + d x_4
Setze jetzt die drei Vektoren ein:
a + 2 b + 3 c + d = 0
1/6 a + b + c = 0
a + 3b + 2c + 1/2 d = 0
Außerdem z. B.
d = 1,
damit f(0,0,0,1) = 1
Löse jetzt das Gl.system.
Zu 2) Was soll denn die "kanonische" Basis von einem *beliebigen* Unterraum sein??
Nimm *irgendeine* Basis und setze sie fort (wie du es gemacht hast).
Der Rest ist mir wieder ziemlich wirr und unverständlich (verzeih mir diese direkte Kommentierung!).
Was soll denn b_1 * (1,0,...,0) sein?? Skalarprodukt, oder was?? Und wo sind plötzlich die w_i's geblieben??
Stattdessen:
Wenn x=(a_1,a_2,a_3,...,a_m) die Koordinatendarstellung bzgl. der Basis (b_1,b_2,...,b_m) ist, dann setze
f(x) = c_(n+1) a_(n+1) + ... + c_m a_m
wobei c_i irgendwelche beliebigen Zahlen ungleich 0 sind.
That's it! |
Dijana P.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 17:40: |
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Ich versuche mal zu erklären was ich oben gemacht habe:
a) s=(1,2,3,1) , t=(1/6,1,1,0) , u=(1,3,2,1/2) sowie einem neuen Vektor v=(0,0,0,1), so dass wir eine Basis von R4 haben.
Ich will s,t,u auf 0 abbilden, damit U im Kern liegt. v bilde ich wieder auf sich ab.
Da ich ja jeden Vektor w als Linearkomb. darstellen kann: w = a*s + b*t + c*u + d*v ist aus der Linearität von f klar, dass
f(w1,w2,w3,w4)
= f( a*(1,2,3,1) + b*(1/6,1,1,0) + c*(1,3,2,1/2) + d*(0,0,0,1) )
= a*f(1,2,3,1) + b*f(1/6,1,1,0) + c*f(1,3,2,1/2) + d*f(0,0,0,1) =
[Wenn f(s),f(t),f(u) alle auf 0 abgebildet werden, bleibt dann nicht nur noch f(v) übrig?????????]
= (a + (1/6)*b + c + 0)
= (2*a + b + 3*c + 0)
= (3*a + b + 2*c + 0)
= (a + 0 + (1/2)*c + d)
Brauche ich das überhaupt, um die a) zu lösen?
Ich habe an Subtitutiuon der einzelnen Zeilen durch neue Variabeln gedacht, mit denen ich weiterarbeiten kann, aber irgendwie verstehe ich diese Kerngeschichte nicht!
Deinen Vorschlag versteh ich auch nicht, denn wieso sind die Vektoren plötzlich in Zeilenform?
2) Ich meinte eigentlich:
b) Die Basis von U habe ich als kanonische Basis {b1,...,bn} definiert und sie wird zur Basis von V durch {bn+1,...,bm} mit n<=m ergänzt.
Der erste Teil der Basis {b1,...,bn}|-> 0 und (bn+1,...,bm} |-> {bn+1,...,bm} , also auf sich selbst abbgebildet.
Da ich jeden vektor w darstellen kann als:
w = k1*b1 + k2*b2 + ... + km*bm
Somit ist: f(w1,w2,...,wm)
= f(k1*(1,0,..,0) + ... + kn*(0,..,1,..,0) + kn+1*(0,..,1,..,0) + ... + km*(0,..,0,1))
= k1*f(1,..,0) + ... + km*(0,..,1)
= (0,..,0,kn+1,..,kn)
Und dann kommen die Fragen von oben.
- Wäre in deinem Bsp oben f(x)=Abbildung von U also der Kern von f??? Wenn ja, dann warum?
Danke für deine Geduld mit mir. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 19:08: |
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Hallo Dijana,
zunächst einmal habe ich bei der 1. Aufg. vergessen zu erwähnen, dass bei mir W = IR ist.
Jetzt zu deinem neuen Posting.
1. Bei der Zeilenform war ich lediglich zu faul, überall das T dranzuschreiben. War das dein einziges Verständnisproblem? Lies es dir nochmal durch!
2. Die Funktion sollte besser in Abhängigkeit von w1,w2,w3,w4 angegeben werden, und nicht in Abhängigkeit der Koordinaten bzgl. s,t,u,v.
3. Absolut schleierhaft ist mir z.B.
a*f(1,2,3,1) + b*f(1/6,1,1,0) + c*f(1,3,2,1/2) + d*f(0,0,0,1)
= (a + (1/6)*b + c + 0)
Zur 2. Aufgabe:
Noch einmal: Was soll die "kanonische Basis" sein??? Lass das Wort "kanonisch" einfach weg und sag "eine Basis".
Aber im wesentlichen hast du Recht. Nur die Formulierungen gefallen mir nicht. Denn es ist ja nicht b_i = (0,...,0,1,0,...,0) (Es sei denn, du betrachtest die Koordinatendarstellung bezgl. der Basis b_1,...,b_m, dann solltest du das explizit erwähnen.)
Definiere f: V -> V einfach durch
f(k_1*b_1 + k_2*b_2 + ... + k_m*b_m)
:= k_(n+1)*b_(n+1) + ... + k_m*b_m
In meinem Beispiel war f: V -> IR. Der Kern ist U, da b_(n+1),...,b_m linear unabhängig sind.
Keine Ursache :-) |
Dijana P.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 22:13: |
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Du bist wirklich ein Schatz!
Es ist wirklich unglaublich, welche Aggressionen diese Aufgabe in mir weckt!!! Ich hasse Lineare Algebra dafür, dass ich mir hier nichts vorstellen. Wenn ich an Analysis denke, dann wird doch mir viel eher warm ums Herz ...
Ehrlich gesagt, weiss ich schon garnicht mehr was ich hier überhaupt mache, also begebe ich mich in deine Hände und mache einfach was du sagst:
a + 2b + 3c + d = 0
(1/6)a + b + c = 0
a + 3b + 2c + (1/2)d = 0
d = 1
a=-(4/7) , b=(3/14) , c=-(2/7) , d=1
Jetzt bin ich ja sicher, dass ich keine Ahnunhg habe, also frage ich ganz nett was ich damit eigentlich machen soll?
Was bilde ich denn nun wohin ab? Hat der Kern bei f:R^4 -> R jetzt nicht Dimension 1? Was passiert mit s,t,u?
Ich bin wirklich schon ganz konfus ... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 23:03: |
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Liebe Dijana,
"Wetten dass" war grauenvoll, da helfe ich doch lieber dir :-)
Zunächst einmal: nachdem du vermeintlich ein Gl.system gelöst hast, mache immer eine Probe!!
Bei der zweiten Gleichung geht sie leider schief:
1/6 * (-4/7) + 3/14 - 2/7 = (-4 + 9 - 12)/42 = -1/6
Die korrekte Lösung lautet (hoffentlich ... bin auch nicht unfehlbar)
a = -9/7, b= 5/14, c = -1/7, d = 1
So, die (bzw. eine) gesuchte Funktion lautet nun demzufolge
f(x1,x2,x3,x4) = -9/7 * x1 + 5/14 * x2 - 1/7 * x3 + x4
Setze nun bitte s, t und u ein und überzeuge dich, dass f(s) = f(t) = f(u) = 0.
Außerdem ist f(0,0,0,1) = 1 ungleich 0.
Also liegen s, t und u im Kern der Abbildung f.
v aber nicht.
Hoffe, dass das diesmal verständlicher war.
Z. |
Dijana P.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 12:46: |
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Ich danke dir für deine Anschaulichen Erklärungen und wünsche dir einen wunderschönen dritten Advent! ;-)
Dijana |
tkd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 15:18: |
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hallo
mir ist aus diesen auszeichnungen immer noch schleierhaft wie man die b) formell darstellt.
zu a) ich habe die ganz anders gelöst
1.habe eine basis von u gesucht, indem ich die drei vektoren in einer matrix durch gauß verfahren eliminiert habe. dann habe ich drei linear unabhängige vektoren raus und ein einen vierten linearen vektor zu einer Basis R4 hinzugefügt. dann definiere ich f:V->w so , dass Bilder der Basisvektoren von u 0 element w sind und Bilder der restlichen basisvektoren ungleich null sind.diesen f erfüllt kernf=U
mein tutor meinte jedoch, dass die 2a so nicht vollständigt ist und da noch etwas zeigen muss.
aber was?
würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
MFG
tkd |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 15:50: |
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Hallo Dijana, hallo tkd,
zu Aufgabe 2 habe ich um 17:39 Mist erzählt! Aber 20:08 war okay.
Hier noch einmal in aller Ausführlichkeit:
Sei b_1,...,b_n eine Basis von U. Setze diese Basis zu einer Basis b_1,...,b_n,b_n+1,...,b_m von V fort. Jedes x aus V lässt sich dann eindeutiig schreiben als
x = a_1 b_1 + ... + a_m b_m
Definiere f: V -> V durch
f(a_1 b_1 + ... + a_m b_m) = a_n+1 b_n+1 + ... + a_m b_m
f ist offenbar (!) linear.
Weiter ist f(b_1) = ... = f(b_n) = 0. Also sind b_1,...,b_n, und damit ganz U, im Kern von f enthalten.
Andererseits folgt aus
f(a_1 b_1 + ... + a_m b_m) = a_n+1 b_n+1 + ... + a_m b_m = 0
wegen der linearen Unabhängigkeit von b_n+1,...,b_m, dass a_n+1 = ... = a_m = 0.
Also ist a_1 b_1 + ... + a_m b_m = a_1 b_1 + ... + a_n b_n ein Element von U.
@tkd:
Wenn du die Lösung so aufgeschrieben hast wie hier, gebe ich deinem Tutor recht. Die Gretchenfrage ist: WIE LAUTET DIE FUNKTION?? |
tkd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 16:34: |
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vielen für den Lösungsansatz zu 2b .
jedoch glaube ich, dass du einen kleinen Fehler gemacht hast.
Gesucht ist eine Abbildung f: R4 -> W,
d.h man muss am Ende f: V->W definieren
und nicht mit f:V-> V definieren wie du es gemacht hast.
Würde mich freuen , wenn du mich aufklären könntest.
mfg
tkd |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:21: |
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Es ist doch nur irgendeine lineare Abbildung gesucht. Das W darf man sich also aussuchen. Ich habe eben W = V genommen.
Mit R^4 hat die Aufgabe 2 überhaupt nichts zu tun. Es soll für *jeden* Vektorraum V gelten.
*grübel*
Hmmm, merke gerade, dass idh den Beweis nur für endlich dimensionale Vektorräume aufgeschrieben habe. Die Behauptung sollte aber für jeden Vektorraum gezeigt werden.
Kriegt ihr die Erweiterung selbstständig hin?? |
tkd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:26: |
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ammm?? was muss man dann dabei genau machen??
Mfg TKD |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:46: |
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Ist im wesentlichen derselbe Beweis.
Sei B eine Basis von U. Setze diese Basis zu einer Basis (B vereinigt C) von V fort. Jedes x aus V lässt sich dann eindeutig schreiben als
x = r_1 b_1 + ... + r_n b_n + s_1 c_1 + ... + s_m c_m
für gewisse b_i aus B und c_j aus C.
Definiere f: V -> V durch
f(r_1 b_1 + ... + r_n b_n + s_1 c_1 + ... + s_m c_m) = s_1 c_1 + ... + s_m c_m
f ist offenbar (!) linear.
Weiter ist f(b) = 0 für jedes b aus B. Also ist B, und damit ganz U, im Kern von f enthalten.
Andererseits folgt aus
f(r_1 b_1 + ... + r_n b_n + s_1 c_1 + ... + s_m c_m) = s_1 c_1 + ... + s_m c_m = 0
wegen der linearen Unabhängigkeit von C dass s_1 = ... = s_m = 0.
Also ist
r_1 b_1 + ... + r_n b_n + s_1 c_1 + ... + s_m c_m = r_1 b_1 + ... + r_n b_n
ein Element von U. |
tkd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:50: |
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vielen Dank für deine Hilfe
Noch einen schönen Sonntag |
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