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Sei f: (0;¥)->R eine stetige Funktion...

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Son Wa
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 23:36:   Beitrag drucken

Hello guys.

Sorry that I start writing in English, but unfortunately my german is not as perfect as it should be and I am going spare you all my spelling mistakes. I study computer science in Frankfurt and Analysis is really giving me the creeps. I actually would be happy if you could give me some basic approaches, but I wouldn`t mind detailed explenations either. Here we go:


Sei f: (0;¥)->R eine stetige Funktion mit f(xy)=f(x)+f(y). Dann gilt entweder

i) f(x)=0 für alle x aus (0;¥) , oder

ii) f ist bijektiv unf f(x)=loga(x) mit f(a)=1, wobei loga die Umkehrfunktion von expa ist (Logarithmus zur Basis a).


You really do not need to answer in English, I have my dictionary just in front of me ...

Thanks a lot!
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 09:27:   Beitrag drucken

Hallo Son Wa :

A possible way to do this is the following.

Suppose f is not the zero function.Then there
exists a > 0 such that f(a) <> 0. Replacing
f(x) by f(x)/f(a) if necessary we may assume
w.l.o.g. that f(a) = 1.

The function exp_a : x -> a^x ; x in |R is
continous and maps |R onto (0,oo) one-to-one.
Hence the function

g:|R ->|R with g(x) := f(a^x)

is a continous solution of the functional equation

(*) g(x+y) = g(x) + g(y).

It is well known that g(x) = x*g(1) is the unique
continous solution of (*).

To prove this we deduce the following facts from
(*) proceeding step by step :

g(0) = 0 , g(-x) = - g(x) ,

g(m) = m*g(1) for m in Z,

g(1/n) = (1/n)*g(1) for n in |N ,

g(m/n) = (m/n)*g(1) for m in Z, n in |N <==>

g(r) = r*g(1) for all rational r.

Since every irrational x is the limit of a
suitable sequence (r_n) of rationals it follows
from the contiouity of g that

g(x) = x*g(1) for all x in |R.

Hence

f(a^x) = x*f(a) = x for all x in |R

Replacing x by log_a (x) we have

f(x) = log_a (x)

as the unique continous solution of the given
functional equation.

Best wishes

Orion
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Son Wa
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 10:21:   Beitrag drucken

Hello Orion!

This is really awesome ... I am pretty impressed by your english skills!

I owe you for this and hope you enjoy your weekend.

Kind regards.

Son Wa

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