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Phoenix
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 19:25: | 
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Hallo mal gucken ob ihr meine lösung bestätigen könnt!??
Also hier folgende Aufgabe:
X_n --> reelle Folge
n_k --> Folge natürlicher Zahlen, in der jeder Zahl genau einmal auftritt
wenn sowie oben dann ist
X_n_k (k element Natürlicher Zahlen)
eine Umordnung der Folge (X_n)
und: Summe X_n ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.
19a)Zu zeigen:
Wenn y_n und z_n Teilfolgen
y_n --> Teilfolge der nichtnegativen Terme
z_n --> Teilfolge der negativen Terme
--> so sind summe y_n und summe z_n divergent.
Meine Gedanken dazu:
->Umordnunggssatz gilt nicht, da summe X_n nicht! absolut konvergent.
->Also gilt hier das Kommutativgesetz nicht!
->Eine Folge (x_n), die nicht konvergiert, ist divergent.
Beweis:
1. alpha_k := y_n_k >= 0
2. beta_k := - Z_n_k > 0
Dann gilt:
sozusage ist das jetzt meine annahme:
Summe undendlich bis k=0 alpha_k = unendlich
Summe undendlich bis k=0 beta_k = unendlich
Beweis durch Widerspruch:
Wenn summe y_n und Summe z_n konvergieren würden, müsste summe x_n absolut konvergieren.
Daher der widerspruch, denn x_n konvergiert, aber nicht absolut!
Annahme:
Summe unendlich bis k=0 alpha_k = unendlich
und
Summe unendlich bis k=0 beta_k = b - unendlich
Dann gilt: Für alle N >= n_k
Summe N bis n=o alpha_k >= ...
... sum k bis i=0 X_n_i - sum unend bis k=0 beta_k
<=> Summe N bis n=o alpha_k >= ...
Summe k bis i=0 alpha_i - b
--> lim n->unend Summe N bis n=0 x_n = unend
führt also zum widerspruch
ebenso auch die annahme
Summe unendlich bis k=o alpha_k =: a < unendlich
und
Summe unendlich bis k=o beta_k =: unendlich
zum widerspruch!
Damit ist summe alpha_k und summe beta_k divergent.
also was denkt ihr
könnte mein beweis stimmen?
würde mich freuen wenn ihr mir tipps geben könnt denn es ist für mich trotzdem unüberschaubar:-(
danke
phoenix |
Mulder
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 13:14: |
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Du sagst:
"Wenn summe y_n und Summe z_n konvergieren würden, müsste summe x_n absolut konvergieren"
Schön und gut, aber damit hättest Du nur bewiesen daß Summe y_n ODER Summe z_n divergiert, aber noch nicht, daß das beide tun. |
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