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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 17:09: | 
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Hi Ihr!
Habe zwei Aufgaben für Euch! Ich hoffe, ihr könnt sie diesmal lösen. Wäre echt wichtig! Ich brauch doch die Punkte, sonst werde ich nicht zur Klausur zugelassen. Vielen Dank!!!
1. Beweisen Sie, dass die Summe zweier Quadrate x^2+y^2 , x,yeZ niemals kongruent 3 modulo 4 sein kann.
2. Für Fibonacci-Zahlen Fn zeige man
Fn=1/wurzel5((1 + wurzel5/2)^n – (1 – wurzel5/2)^n).
Liebe Grüße
Miriam |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 06:54: |
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Hi Miriam,
Zur Lösung Deiner zweiten Aufgabe müssen wir umfangreiche
Vorbereitungen treffen und die Bezeichnungen klarstellen.
1.Fibonaccizahlen.
Die Fibonaccizahlen, die im folgenden auftreten, seien wie
folgt bezeichnet und numeriert:
F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2 , F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 , F7 = 13,
F8 = 21,….Fn,……..
DasRekursionsgesetz wird als bekannte vorausgesetzt.
2 Reminiszenzen an den goldenen Schnitt.
Es treten bei den Berechnungen von Teilungen nach dem
goldenen Schnitt die beiden folgenden Terme auf:
r = ½ * [wurzel(5) –1]
t = ½ * [wurzel(5) +1]
Zwischen r und t bestehen die einfachen Relationen
t - r = 1
t + r = wurzel(5)................................................................(°)
t * r = 1
t erfüllt die quadratische Gleichung in z:
z ^ 2 – z – 1 = 0
(die andere Lösung ist z = - r)
Daher gilt :
t ^ 2 = t+1
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r erfüllt die quadratische Gleichung in u:
u ^ 2 + u –1= 0
(die andere Lösung ist u = - t)
Daher gilt:
r^2 = 1 – u
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3 :Ein (t,r) –Kalkül mit überraschenden Ergebnissen
(Linearisierung der Potenzen)
Wir bilden Potenzen von t und r mit positiven ganzen Exponenten
r ^1 = r
r ^2 = 1 – r , daraus
r ^3 = r*r^2 = r*(1-r) = r – r^2 = 2 * r –1 = F2 * r – F1........ ....(!)
r ^4 = r*r^3 = r*(2*r-1) = 2*r^2 – r = 2 – 3* r = F3 –F4*r... ....(!)
r^5 = r*r^4 = r*(2 – 3*r)=2*r – 3*r^2 = 5*r - 3 = F5*r – F4...(!)
r^6 = r*r^5 = r* (5*r-3) =5*r^2 – 3*r = 5 – 8*r = F5 – F6*r...(!)
........................................................................................................
Allgemein gilt
Für gerade n: r ^ n = F(n-1) – Fn * r ...........................................(I)
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Für ungerade n: r^n = Fn * r – F(n-1) ........................................(II)
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Bei den Potenzen von t hat man keine Vorzeichenprobleme
Es gilt ( Herleitung analog ):
t ^ 2 = t + 1 = F2 *t + F1
t ^ 3 = 2 * t + 1 = F3 *t + F2
t ^ 4 = 3 * t + 2 = F4 *t + F3
t ^ 5 = 5 * t + 3 = F5* t + F4
t ^ 6 = 8 * t + 5 = F6* t + F5
.........................................................................................
allgemein gilt für alle n = 2,3,4....................................
t ^ n = Fn * t + F(n-1)...................................................................(III)
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4. Beweis der Behauptung
Wir formulieren und beweisen den Satz a) für gerade n , b) für ungerade n
a) n gerade ; sei
an = 1/wurzel(5) * [ t ^ n – r ^ n ]
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Behauptung: an = Fn: das Folgeglied an stimmt mit der
n-ten Fibonacc i- Zahl überein.
Beweis.
Nach der Formeln (I) und (III)gilt
t ^ n - r ^ n = Fn * t +F(n-1) – F(n-1) +Fn * r = (t+r)*Fn =
wurzel(5)*F(n), letzteres nach (°),somit
an = Fn,wzbw
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b) n ungerade; sei
bn = 1 / wurzel(5) * [ t ^ n + r ^n ]
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Behauptung: bn = Fn: das Folgeglied bn stimmt mit der
n-ten Fibonacci - Zahl überein.
Beweis.
Nach der Formeln (I) und (II)gilt
t ^ n + r ^ n = Fn * t +F(n-1) + Fn * r - F(n-1) = (t+r)*Fn =
wurzel(5)*F(n), letzteres nach (°),somit
bn = Fn,wzbw
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Damit ist der Beweis erfolgreich überstanden !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 17:56: |
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Hi lieber megamath!!!
Vielen Dank fürs Lösen der Aufgabe!DAnn werde ich mal anfangen mich durchzukämpfen!! :o)
Gruß Miriam |
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