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Erni (Erni)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 18:46: | 
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Hallo,ich brauche eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:Es sei a Element der Gruppe G mit endlicher Ordnung. Man zeige, dass ord a=ord a^-1 gilt.
Danke!!! |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 08:49: |
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Hallo, Erni!
Zuerst muß man wissen (bzw. sich mit einer leichten Induktion überlegen), daß in einer beliebigen Gruppe G für ein beliebiges Element a und eine beliebige natürliche Zahl n gilt:
(*): (an)-1=(a-1)n
Damit ist es dann ganz leicht! Habe a aus G die endliche Ordnung n. Nach Definition heißt das (wenn e das neutrale Element von G bezeichnet), daß an=e, aber am¹e für alle natürlichen Zahlen m<n gilt. Wegen (*) folgt dann aber:
(a-1)n=(an)-1=e-1=e und
(a-1)m=(am)-1¹e
für m<n, denn sonst wäre am=e. Also folgt, daß auch a-1 die Ordnung n hat! |
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