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Beitrag |
    
Daniel C.
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 18:03: | 
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Die b-adische Entwicklung einer reellen Zahl x wird genau dann von einer Stelle an periodisch, wenn x rational ist.
Kann mir jemand bei diesem Beweis helfen. Ich komme hier nicht weiter |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 19:01: |
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Daniel :
1. O.b.d.A. sei 0 < x < 1. x sei periodisch
mit der Vorperiode c_1...c_r und der Periode
d_1...d_p, also in Ÿblicher Notation
x = 0.c_1...c_r d_1...d_p d_1...d_p ...
==> b^r*x = c + d mit c = (c_1...c_r) und
d = 0.d_1...d_p d_1...d_p ...
Offenbar gilt b^p*d = D + d mit D = (d_1...d_p)
==> d = D/(b^p - 1)
c und D sind ganzzahlig ===> x ist rational.
2. Wenn x = m/n rational ist, so liefert der
b-adische Divisionsalgorithmus die b-adische
Entwicklung. Die auftretenden Divisionsreste
entstammen der endlichen Menge {0,1,...,n-1}.
Daher wird die b-adische Entwicklung periodisch.
mfg
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