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Beitrag |
    
Reto
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 14:25: | 
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Hallo,
Bei dieser Aufgabe finde ich keinen Einstieg !
Kann mir jemand helfen ?
Besten Dank im voraus !
Der Wert des Integrals über e ^(-t^2) dt
von t = 0 bis unendlich ist ½ sqrt(Pi).
Leite daraus für dieselben Grenzen die Integrale her:
a) über t^2 e^ (- t^2)
b) über t^4 e^ (- t^2)
Reto |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 18:36: |
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Reto :
Wir setzen allgemein fŸr k = 0,1,2,...
I(k) := int[0..oo]t^(2k)*e^(-t^2) dt
Durch partielle Integration (u':= t^2k,
v:= e^(-t^2)) ergibt sich leicht
I(k) = (2/(2k+1))*I(k+1) <==>
I(k+1) = ((2k+1)/2)*I(k) fŸr k >= 0.
mfg
birdsong |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 20:24: |
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Hi Reto,
(I)
Wir lösen die Teilaufgabe a) zunächst mittels
partieller Integration.
Jo = int [e^(-t^2)*dt ] = int [1* e^(-t^2)*dt]=
t * e^ ( - t ^ 2 ) + int [ 2 * t^2 e^ ( - t ^ 2 )*dt ]
Es sind sinngemäss die Grenzen 0 und unendlich
zu setzen !
Aus der letzten Beziehung folgt:
½ * wurzel(Pi) = Jo = 0 + 2 * int [t^2 * e^(-t^2) * dt ]
in den genannten Grenzen
Somit gilt im Fall a)
J1 = int [t^2*e^(-t^2) = ½ * Jo = ¼ * wurzel(Pi)
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(II)
Zur Lösung beider Aufgaben können wir auch einen Trick
in der Gestalt eines Parameters p verwenden
Im Integral (untere Grenze null, obere Grenze unendlich )
Jo = int [e ^ (- t ^ 2 ) * dt ] führen wir eine Substitution
mit u als unabhängige Variable durch:
t = p* u , dt = p * du.
Wir erhalten die Beziehung:
int [p * e ^ ( - p ^ 2 * u ^ 2 ) * du ] = ½ * wurzel (Pi) oder
F(p) = int [ e ^ (- p ^ 2 * u ^ 2) * du ] = ½ * wurzel(Pi) / p
Jetzt leiten wir beide Seiten partiell nach dem Parameter p ab.
- 2 * p * int [u^2 * e^(-p^2*u^2) * du ] = - ½* wurzel(Pi) / p^2
vereinfacht:
int [u^2 * e ^ ( - p ^ 2 * u ^ 2 ) *du ] = ¼ *wurzel(Pi) / p^3
Setzt man jetzt p = 1 , so entsteht:
J1 = int [u ^ 2 * e ^ (- u ^ 2 ) *du ]= ¼ * wurzel(Pi),
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wie mit der ersten Methode.
b)
Im Integral (untere Grenze null, obere Grenze unendlich )
J1 = int [t ^ 2 * e ^ (- t ^ 2 ) * dt ] führen wir wiederum
die Substitution t = p* u , dt = p * du durch.
Wir erhalten die Beziehung:
int [p^3 * u^2 * e ^ ( - p ^ 2 * u ^ 2 ) * du ] = ¼ * wurzel (Pi) oder
F(p) = int [u^2 * e ^ (- p ^ 2 * u ^ 2) * du ] = ¼ * wurzel (Pi) / p^3
Jetzt leiten wir beide Seiten partiell nach dem Parameter p ab.
- 2 * p * int [u^4 * e^(-p^2*u^2) * du ] = - ¾ * wurzel(Pi) / p^4
vereinfacht:
int [u^4 * e ^ ( - p ^ 2 * u ^ 2 ) *du ] = 3/8 *wurzel(Pi) / p^3
Setzt man p = 1 , so entsteht:
J2 = int [u ^ 4 * e ^ (- u ^ 2 )* du ] = 3/8 * wurzel(Pi)
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Mit dieser Methode lassen sich weitere interessante
Resultate herleiten, wozu uns leider die Zeit fehlt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 21:25: |
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Hi Reto,
Zu Deiner Orientierung gebe ich Dir etwas
allgemeinere Formeln, die zum Umfeld Deiner
Aufgabe gehören (ohne Herleitung) ;
sie können Dir vielleicht nützlich werden:
(1) für n = 1,2.3,…………………………
int [x^(2n)*e^(-x^2)*dx] =
= [1*3*5*…*(2n-1)] / [2^(n+1)] * wurzel(Pi)
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(2) für n =0,1,2,3,... …………………
int [x^(2n+1)*e^(-x^2)*dx] =
= ½ * n!
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
Reto
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 09:46: |
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Hallo,
Vielen Dank an birdsong und megamath für Ihre Antworten.
Ich habe sehr viel profitiert !
Reto |
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