| Autor |
Beitrag |
    
Karo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 21:27: | 
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Hi,
suche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Man bestimme die Potenzgerade zu je zweien der drei Kreise:
K1: x^2+y^2=1, K2: x^2-6x+y^2-5 = 0, K3: x^2+y^2-6(x+y)+14= 0.
Zu der Geraden G: y = x+1 bestimme man je ein elliptisches und ein parabolisches Kreisbüschel, deren Potenzgerade G ist.
Zu der Geraden H: x = 0 bestimme man ein hyperbolisches Kreisbüschel, deren Potenzgerade H ist.
Danke im voraus! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 07:16: |
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Hi Karo,
Um die Potenzgerade zweier Kreise rechnerisch
zu bestimmen, benötigen wir weder die Mittelpunkte
noch die Radien der Kreise.
Es genügt ,die Gleichungen der Kreise je in der
so genannten (A,B,C)-Form anzuschreiben,
d.h. in der Form
x^2 +y^2 + A x + B y + C = 0
Die Differenz der beiden Gleichungen ist eine lineare
Gleichung in x, y und stellt gerade die Gleichung der
Potenzgeraden dar.
Ausführung
Der erste und zweite Kreis ergeben die Potenzgerade p12;
Gleichung nach dem angegebenen Verfahren:
6 x + 4 = 0 oder x = -2/3 ( Parallele zur y-Achse)
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Der zweite und dritte Kreis ergeben die Potenzgerade p23;
Gleichung nach dem angegebenen Verfahren:
6 y - 19 = 0 oder y = 19/6 ( Parallele zur x-Achse )
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Der dritte und erste Kreis ergeben die Potenzgerade p31;
Gleichung nach dem angegebenen Verfahren:
6 x + 6y – 15 = 0 oder 2 x + 2 y = 5.
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Anmerkung
Die drei Potenzgeraden gehen alle durch denselben
Punkt P(-2/3 ;19/6); dieser Punkt heisst Potenzpunkt der
drei Kreise.
Er hat bezüglich dieser Kreise je gleiche Potenz
Liegt P ausserhalb der Kreise, was im Beispiel zutrifft,
so haben die Tangentenabschnitte von P aus an die drei Kreise
je gleiche Länge R.
Der Kreis um P mit dem Radius R schneidet die gegebenen Kreise
je senkrecht.
Fortsetzung folgt
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 09:34: |
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Hi Karo,
Klärung der Begriffe, die man zur Lösung der letzten
Teilaufgaben benötigt.
Ein Kreisbüschel kann durch zwei der involvierten
Kreise bestimmt werden
Der erster Kreis k1 habe die Gleichung
K1 = x ^ 2 + y ^ 2 + A1 x + B1 y + C1 = 0
Der zweite Kreis k2 habe die Gleichung
K2 = x ^ 2 + y ^ 2 + A2 x + B2 y + C2 = 0
Ein beliebiger Kreis Kt des Büschels hat dann
die daraus hergeleitete Gleichung
K1 + t * K2 = 0, worin t eine beliebiger
Parameter ist.
Die Grundkreise K1, K2 schneiden sich in den
Grundpunkten P und Q.
Es gibt drei Fälle:
(I)
die Grundpunkte sind reell und verschieden;
das Büschel heisst elliptisch.
(II)
die Grundpunkte sind reell und zusammenfallend;
das Büschel heisst parabolisch.
( die beiden Kreise berühren sich ! )
(III)
die Grundpunkte sind imaginär;
das Büschel heisst hyperbolisch.
1.
Konstruktion eines elliptischen Büschels nach Vorschrift.
y = x + 1 ist die Potenzgerade des Büschels
Auf ihr liegen die Grundpunkte P und Q,
Beispiel: P(-1/0),Q(0/1).
Die Mittelpunkte der Büschelkreise liegen auf der Achse
y = - x, der Mittelsenkrechten der Strecke PQ.
Als Grundkreise wählen wir :
K1 = x ^ 2 + y ^ 2 - 1 = 0
K2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 x - 2 y + 1 = 0
Stelle eine Skizze der Disposition her.
Kreis k1: Mittelpunkt M1(0/0) , Radius r = 1
Kreis k2: Mittelpunkt M2(-1/1) , Radius r = 1
Konstruiere einige Kreise des Büschels
2..
Konstruktion eines parabolischen Büschels nach Vorschrift.
y = x + 1 ist die Potenzgerade des Büschels
und damit die gemeinsame Tangente der Büschelkreise.
Als Berührungspunkt wählen wir den Punkt
P = Q(- ½ / ½ ).
Die Mittelpunkte der Büschelkreise liegen auf der Achse
y = - x, der Senkrechten zur Tangente y = x +1
Als Grundkreise wählen wir :
K1 = x ^ 2 + y ^ 2 - ½ = 0
K2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 x - 2 y + 3/2 = 0
Stelle eine Skizze der Disposition her.
Kreis k1: Mittelpunkt M1(0/0) , Radius r = ½*wurzel(2)
Kreis k2: Mittelpunkt M2(-1/1), Radius r = ½*wurzel(2)
Konstruiere einige Kreise des Büschels !
3..
Konstruktion eines hyperbolischen Büschels nach Vorschrift.
x = 0 ist die Potenzgerade des Büschels .
Wir konstruieren zuerst ein elliptisches Büschel mit der
x-Achse als Potenzgerade (Hilfsbüschel),Mittelpunkte auf der
y-Achse.
Als Grundpunkte dieses elliptischen Büschels dienen etwa die
Punkte P(-1/0),Q(1/0).
Der Einheitskreis x^2 + y ^2 = 1 sei der Grundkreis Kreis k1
dieses Büschels.
Die Mittelpunkte der gesuchten Kreise des hyperbolischen Büschels
liegen auf der x-Achse.
Man wähle einen Mittelpunkt M ausserhalb k1 , lege die Tangente
von M aus an k1;die Tangentenstrecke habe die Länge R.
Der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R ist ein Kreis des gesuchten
hyperbolischen Büschels.
Spiegelt man diesen Kreis an der y-Achse, so hat man einen zweiten
Kreis des Büschels u.s.w.
Jeder der so konstruierten Kreise der hyperbolischen Schar
schneidet jeden Kreis der elliptischen Hilfsschar senkrecht.
Die rechnerische Durchführung sei dem geneigten Leser überlassen.
Damit lassen wir es bewenden !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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