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Beitrag |
    
Markus Pöstinger (Sinister)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 16:19: | 
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Hi.
Vielleicht könnt Ihr mir mal wieder bei einer Folge helfen (nötig ist nur Monotonie zu zeigen):
sn = Sn k=11/k - ln(n)
Das ganze konvergiert gegen 0.5772 (Warum eigentlich ausgerechnet dagegen?) und ich denke, man kommt schon weiter, wenn man sn+1/sn ausrechnet und zeigt, daß das immer positiv ist...
Nur da versagen meine Kräfte irgendwie. 
Wär klasse, wenn Ihr mir helfen könntet...  |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 19:50: |
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Hi Markus,
Es folgt ein längerer Vorspann
A]
Untersuche die Funktion f(t) = t / (1-t ) im
abgeschlossenen t-Intervall [0 , 1/n] ;
n ist eine natürliche Zahl > 1
Ueberzeuge Dich, dass im ganzen Intervall gilt:
f ( t ) > = 0......................................................................(1)
B]
Berechne mit der in A} definierten Funktion f(t)
das unbestimmte Integral J = J(t) :
J(t) = int [f(t) * dt]
Ergebnis
J(t) = int [ { 1 / (1-t) – 1 }* dt ] = - ln (1-t ) – t
C]
Berechne das bestimmte Integral M zu J,
untere Grenze 0 , obere Grenze 1/n
Resultat:
M = - [ ln (1- 1/n) + 1/n ]................................................(2)
Ende des Vorspanns !
Hauptfilm:
Wir entsprechen Deinem Wunsch, den Nachweis zu
erbringen, dass die Folge der a(n) monoton fällt, wobei
a(n) =1 + ½ + 1/3 +...............+1/n – ln (n)
Dazu bilden wir die Differenz ( nicht den Quotienten !)
d(n) = an – a(n-1) für n >1; es kommt:
d(n) = 1/n – ln(n) + ln(n-1) =1/n + ln (1- 1/n )
Heureka: die rechte Seite ist der Ausdruck in der eckigen
Klammer von (2), mithin gilt:
d(n) = - M = - int [ t /(1-t) * dt ]
Die ganze rechte Seite der letzten Gleichung ist wegen (1)
negativ , was zu zeigen war.
Randbemerkung
Die Beschränktheit der Folge ist leicht zu zeigen.
Auf Wunsch werde ich den Beweis nachliefern
Der Grenzwert C ist die berühmte Eulersche Konstante,
über die es sich zu meditieren lohnt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Markus Pöstinger (Sinister)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 16:08: |
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Hmmm, ich würde gerne die Aufgabe ohne Integralanwendung lösen. Ich hab eben noch einmal herumprobiert und wahrscheinlich geht das nicht, aber ich hab da folgendes:
1 + 1/2 + ... + 1/n-1 - ln(n) < 1 + 1/2 + ... + 1/n-1 + 1/n - ln(n+1)
<=> -ln(n) < 1/n - ln(n+1)
<=> -n < e1/n - n - 1
<=> 0 < e1/n - 1
Wenn ich da hohe n einsetze, kommt ein sehr kleines Ergebnis, aber immer noch über 0. Kann man nun sagen:
limn->inf(e1/n - 1) -----> 0, ist aber immer darüber? -> Folge ist monoton steigend (sie ist doch steigend? Sie kommt doch von unten und nähert sich dann der Eulerschen Konstanten an.)?
Wegen der Beschränktheit: Wär natürlich klasse, wenn Du mir das beweisen könntest, dann hätte ich mehr Anschauungsmaterial.
Vielen Dank nochmal für Deine Hilfen... |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 22:02: |
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Hi Markus,
Es ist vielleicht bei der Lösung dieser Aufgabe doch angebracht,
das Mittel der Integralrechnung anzuwenden.
Es bleibt uns nur noch, die Beschränktheit der Folge,
deren allgemeines Glied durch eine Summe dargestellt wird,
nachzuweisen.
Als Grundlage für den Nachweis der Beschränktheit
dient uns ein von MacLaurin und Cauchy
stammendes Vergleichskriterium:
Dieses Kriterium, welches für positive monoton fallende
Funktionen y = f(x) mit positiven x-Werten gilt, machen
wir uns anhand einer Skizze im ersten Quadranten eines
Koordinatensystems klar.
Skizziere eine solche Funktion samt einem Treppenpolygon
über dem Gesamtintervall [n , N] ;die Unterteilung dieses
Intervalls geschehe mit gleichen Breiten eins der Teilintervalle.
Das Treppenpolygon sei so angesetzt, dass eine
Untersumme A für das unten erwähnte Integral entsteht,
dass also A < J gilt, wobei J das bestimmte Integral der Funktion
y = f(x) über dem Intervall [n , N] darstellt; d.h. es ist
J = int [f(x) * dx] ,untere Grenze n , obere Grenze N
A stellt die Fläche unter dem Treppenpolygon dar und kann
als Rechtecksumme geschrieben werden, nämlich:
A = sum [ f(k) *1] , Summation über k von k = n +1 bis N .
Addiert man nun zur Ungleichung.
(1): A < = J
links und rechts f(n), so entsteht die Ungleichung
(2): sum [f(k) *1] < = f(n) + J ,
Achtung: Summation in (2) von k = n bis k = N
Fasst man nun (1) und (2) zusammen,. So bekommt man
die erwähnte Abschätzung in voller Grösse:
J < = sum [ f(k) ] < = f(n) + J
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Der Summationsindex läuft von n bis N,
in Uebereinstimmung mit den entsprechenden Grenzen des
Integrals J.
Setze dieses Vergleichskriterium als allgemein bekannt voraus,
und benütze es jetzt zur Lösung Deiner Aufgabe.
Als Funktion f(x) wählen wir f(x) = 1/x.
Die Summation läuft von 1 bis N, dieselben Zahlen
werden als Grenzen des Integrals genommen.
Es entsteht zunächst die Ungleichungskette
int [1/x * dx] < = sum [1/ k] < = 1 + int [1/x * dx ]
Die 1 rechts ist f(1),wie verlangt.
Wenn wir die Integrale ausführen, kommt:
ln N < = sum [1/ k] < = 1 + ln N ,mithin:
0 < = sum[1 / k] – ln N < = 1
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Bildet man den zwischen 0 und 1 liegenden Ausdruck
für N = 1,2 ,3 ,....,so erhält man die monoton fallende,
zur Diskussion stehende Folge, die somit konvergiert
Der Grenzwert wird mit C oder klein Gamma bzeichnet
und heisst EULERSCHE KONSTANTE
Sie wurde vor genau 270 Jahren eingeführt !
Ihr Zahlenwert ist C = 0,577215664901532..................
Das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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