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Nadine (Anja)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 09:39: | 
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HI Ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen:
Durch Vergleich mit dem Integral ist zu Zeigen, dass die Reihe 1+ 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... für beliebige s größer 1 konvergiert.
Danke Nadine |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 10:49: |
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Hi Nadine,
Als Grundlage für den Konvergenzbeweis in der in
Deiner Aufgabe erwähnten renommmierten Reihe
dient uns ein von MacLaurin und Cauchy stammendes
Vergleichskriterium:
Dieses Kriterium, welches für positive monoton fallende
Funktionen y = f(x) mit positiven x-Werten gilt, machen
wir uns anhand einer Skizze im ersten Quadranten eines
Koordinatensystems klar.
Skizziere eine solche Funktion samt einem Treppenpolygon
über dem Gesamtintervall [n , N] ;die Unterteilung dieses
Intervalls geschehe mit gleichen Breiten eins der Teilintervalle.
Das Treppenpolygon sei so angesetzt, dass eine
Untersumme A für das unten erwähnte Integral entsteht,
dass also A < J gilt, wobei J das bestimmte Integral der Funktion
y = f(x) über dem Intervall [n , N] darstellt; d.h. es ist
J = int [f(x) * dx] ,untere Grenze n , obere Grenze N
A stellt die Fläche unter dem Treppenpolygon dar und kann
als Rechtecksumme geschrieben werden, nämlich:
A = sum [ f(k) *1] , Summation über k von k = n +1 bis N .
Addiert man nun zur Ungleichung.
(1): A < = J
links und rechts f(n), so entsteht die Ungleichung
(2): sum [f(k) *1] < = f(n) + J ,
Achtung: Summation in (2) von k = n bis k = N
Fasst man nun (1) und (2) zusammen,. So bekommt man
die erwähnte Abschätzung in voller Grösse:
J < = sum [ f(k) ] < = f(n) + J
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Der Summationsindex läuft von n bis N,
in Uebereinstimmung mit den entsprechenden Grenzen des
Integrals J.
Lassen wir N gegen unendlich streben ,so ergibt sich die
folgende Tatsache:
Das Integral J und die eingepferchte ( unendliche ) Reihe
sind gleichzeitig konvergent oder divergent !
Setze dieses Vergleichskriterium als allgemein bekannt voraus,
und benütze es jetzt zur Lösung Deiner Aufgabe.
Die Reihe ist sum[1 / (k ^ s)], das Integral
J = int [1 / (x^s) * dx] ,untere Grenze 1,obere Grenze unendlich.
Da für s > 1 das Integral bekanntlich existiert, ist auch die
Konvergenz der Reihe für s >1 gesichert;
Die Summe stellt die Riemannsche Zetafunlktion zeta(s) dar.
Allenfalls zeige ich Dir auch den Nachweis der Konvergenz des
uneigentlichen Integrals J von soeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Nadine (Anja)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 11:01: |
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Vielen Dank für deine Hilfe |
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