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Beitrag |
    
Lene
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 16:45: | 
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Hi, ich habe hier ein Riesenproblem mit einer Aufgabe und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte:
1) Drücken Sie das symmetrische Polynom
a1^2 + a2^2 + a3^2 aus R[a1, a2, a3] als Polynom der elementarsymmetrischen Polynome s1, s2, s3 aus.
2) Sei Sk = Summe (i=1...n) ai^k.
Beweisen Sie die folgenden Gleichheiten:
sn*S0 - s(n-1)*S1 + s(n-2)*S2 -...+
+ (-1)^(n-1)* S(n-1) + (-1)^n+Sn = 0
und
(-1)^(n+(n-1)/2) * Produkt (i,j=1...n; i!=j) (ai-aj) = det X, wobei X folgende Zeilen hat
S0 S1 ... S(n-1)
S1 S2 ... Sn
:
:
S(n-1) Sn ... S(2n-2)
Vielen Dank für jede Hilfe,
Lene |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 13:56: |
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Hi Lene,
Wir gehen Dein Riesenproblem in kleinen Schritten an
Zuerst Teilaufgabe 1):
Eine ganz elementare Lösung will ich Dir nicht
vorenthalten, bevor ich etwas weiter aushole und
wirksame algebraische Methoden vorführe.
a)
Entwickle (a+b+c)^2 gemäss der elementaren Algebra,
und löse die Relation nach a^2+b^2+c^2 auf; es entsteht:
a^2+b^2+c^2 = (a+b+c) ^2 – 2 * (ab+bc+ca)
b) Ebenso:
a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 – 3*(a^2 b + b^2* c + c^2* a)
-3 * (a*b^2 + b*c^2 + c*a^2) – 6 * a * b * c .
Die im folgenden gezeigte wirksame Methode stammt aus
dem 17/18.Jahrhundert.
Anfänge stammen von Albert Girard (1629),
Verallgemeinerungen von Isaac Newton
(Arithmetica universalis 1707)
Bezeichnungen
Der Begriff der symmetrischen Funktion in x1,x2,...xn. wird als
bekannt vorausgesetzt
Spezielle symmetrische Funktionen sind die symmetrischen
GRUNDFUNKTIONEN . Sie seien mit s1, s2, s3,--bezeichnet
und sind so definiert:
- s1 = x1+x2 + x3 +.....+ xn : Summe der xi
s2 = x1*x2 + x1*x3+…+ x(n-1)*x(n) :Summe der Produkte von je zweien
............................................
(-1)^n * sn = x1*x2...*xn :das Produkt aller.
Achtung :beachte die alternierenden Vorzeichen !
Es gilt der Satz
Jede symmetrische Funktion S(x1,x2,..xn) kann rational
und ganz durch die symmetrischen Grundfunktionen
dargestellt werden.
Besondere symmetrische Funktionen sind die
so genannten POTENZSUMMEN
Ihre Definition lautet
a1 = x1 + x2 + x3 +............+ xn
a2 = x1^2 + x2^2 +.........+ xn^2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ak = x1^k + a2^k + ……..+xn^k
Die von Newton stammenden Formeln über solche Potenzsummen
lauten für k = 1 bis 4:
a1 = - s1
a2 = s1.^ 2 – 2 * s2
a3 = - s1^3 +3 * s1* s2 + 3 * s3
a4 = s1^4 – 4 * s1^2 * s2 + 4 * s1 * s3 + 2 * s2 ^ 2 – 4 * s4
Die Beweisführung ist recht aufwändig ;ich muss leider
aus Zeitgründen darauf verzichten
Mit diesen Formeln weist man auch die Ergebnisse der
Teilaufgabe 2 (am Anfang) nach.
Für die Determinante, die in der zweiten Aufgabe auftritt,
ist das Studium der Vandermondeschen Determinante zu
empfehlen (siehe im Archiv unter diesem Titel).
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Lene
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 10:48: |
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Hi megamath,
vielen Dank. Hast Du vielleicht noch einen Tip für den zweiten Teil?
Das wäre schön.
Viele Grüße, Lene |
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