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Beitrag |
    
Curti
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 14:18: | 
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Hallo,
Hier nochmals eine Aufgabe über Enveloppen.
Welche Gleichung hat die Umhüllende
der Kurvenschar
(x-c)^2 + y^2 – c^2 / 2 = 0
Der Scharparameter c durchläuft alle reellen Zahlen
Vielen Dank für jede Hilfe
Curti |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 16:21: |
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Hi Curti,
Die gegebene Schar ist eine Kreisschar,
Mittelpunkt M mit xM = c , yM = 0
Radius r = 1 /wurzel(2 )* abs ( c ) .
Wir leiten F(x,y,c) = (x – c ) ^ 2 + y ^ 2 – ½ * c^2
partiell nach c ab und setzen diese Ableitung null.
Es entsteht die Gleichung
- 2 * ( x – c ) – c = 0, daraus folgt c = 2 x.
Dies setzen wir in F(x,y,c) = 0 ein ; es bleibt
eine Relation übrig, in welcher der Parameter c
nicht mehr vorkommt, nämlich:
(x – 2 x ) ^ 2 + y ^ 2 - 2 x ^2 = 0
Daraus entsteht :
(y-x) * ( y + x ) = 0
Das ist die Gleichung des Geradenpaares
y = x und y = - x.
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Resultat : eine degenerierte Hyperbel,
reduziert auf ihre Asymptoten.
Wir berechnen noch die Berührungspunkte B der Enveloppe
mit den Kreisen der Schar aus der Gleichung
( x - c ) ^ 2 + ( +- x ) ^ 2 - ½ * c ^ 2 = 0 ; es kommt:
B1( ½ c / ½ c) , B2( ½ c / - ½ c )
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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