| Autor |
Beitrag |
    
Susanne (Teufelinchen)
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 17:22: | 
|
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe :
(an) und (bn) seien zwei Cauchy-Folgen in einem metrischen Raum (X,d).
Ich soll beweisen, dass die reelle Folge
(d(an,bn)) für n Element der natürlichen Zahlen konvergiert. Wie mache ich das ? |
Mulder
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 12:31: |
|
c_n := d(a_n,b_n)
Da R vollst. genügt es zu zeigen, daß c_n eine Cauchy-Folge ist, d.h.
F.a. E>0 ex. N0 sd. f.a. n>n0 |c_n+1 - c_n| < E. Sei also E>0 gegeben, dann ex. N1 und N2 wie oben für a_n und b_n, also mit N:= max(N1,N2) durch zweimaliges Anwenden der Dreicksungl.:
d(a_n,b_n) <= d(a_n,a_n+1) + d(a_n+1,b_n+1) + d(b_n+1,b_n)
Daraus erhält man durch Umformen
|d(a_n+1,b_n+1) - d(a_n,b_n)| <= d(a_n,a_n+1) + d(b_n,b_n+1) < 2E
q.e.d. |
|
