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Zwei Irrfahrer

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Biene
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 20:40:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich brauche dringend Eure Hilfe.

Zwei Irrfahrer bewegen sich voneinander unabhängig auf dem Gitter Z2. Irrfahrer A geht in unabhängigen Schritten jeweils mit Wahrschein­lichkeit 1/2 nach Norden oder Osten, Irrfahrer B geht entsprechend zufällig nach
Süden oder Westen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich die beiden Irr­fahrer zum Zeitpunkt n, wenn sich zum Zeitpunkt 0 Irrfahrer A in der Position (0,0) und Irrfahrer B in der Position (n, n) befindet.

Vielen Dank im Voraus.
Biene
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 08:12:   Beitrag drucken

Hi Biene,

Die hier erarbeitete Lösung einer analogen Aufgabe hilft
Dir sicher weiter im Sinne einer Hilfe zur Selbsthilfe.

Mit b(m,n) werde der Binomialkoeffizient „m tief n“
bezeichnet; wir merken noch an, dass
b(m,n) = b(m,m-n) gilt.

Vorgelegt ist ein n x n - Strassensystem.
Um unter den genannten Bedingungen vom Nullpunkt O(0,0)
nach dem Punkt P(m,n) zu gelangen, gibt es bekanntlich
b(n+m,n) = b(n+m,m) Möglichkeiten.
Ist P = Q(n,n) gegeben, so ist die Anzahl dieser Möglichkeiten
somit b(2n,n).
A startet in O, B in Q.
Ein allfälliger Treffpunkt liegt notwendig auf der
Hauptdiagonalen des Quadrates, welche die Punkte
P(x,n-x) enthält.
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit p1 ,dass
A genau im Punkt P(x,n-x) eintrifft; es gilt:
p1 = b(n,x) / 2^n,denn es gibt 2^n mögliche Fälle,
davon sind b(x+n-x,x) = b(n,x) = b(n,n-x) günstig

Für B ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit,
im Punkt P einzutreffen

Die Wahrscheinlichkeit p, dass sich A und B in P treffen,
ist gleich dem Produkt p1*p2,also
p = p1*p2= [b(n,x)^2] * 1 /{2^(2n)}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir berechnen noch die Wahrscheinlichkeit S, dass
A und B sich überhaupt begegnen.
S ist die Summe aller p-Werte von vorhin,
summiert über x von x = 0 bis x= n
Mit einer bekannten Formel für die Quadratsumme der
Binomialkoeffizienten
sum[b(n., x) ^ 2] = b(2n, n) ,Summation von x = 0 bis x = n
kommt:
S = b (2n,n)* 1 / {2^(2n)}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath.

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