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Beitrag |
    
Thomas Fried
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 19:28: | 
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Lineare Algebra!
Ich komme damit nicht so gut klar wie ich es gerne würde. Ich möchte diese Aufgaben gerne selber lösen können, aber ich kann nicht mal anfangen!
Wie kann ich Ansätze für so eine Aufgabe finden?
Es sei M Element von M2(K) gegeben. Wir betrachten V = M2(K) als Vektorraum über K und definieren die Abbildung D: V ® V durch D(A) = AM - MA.
(a) Zeige: D ist linear und nicht surjektiv.
(b) Bestimme KerD (Dimesion, Basis), wenn
[ 1 2 ] = M
[ 0 3 ]
2:=1+1 , 3:=1+1+1
(c) Wie b), aber für beliebiges
[ a b ]
[ c d ]
Ich weiss, wenn ich ehrlich bin, nicht einmal was ich genau machen sollen. Ich weiss was ein Kern, eine Basis und eine Dimension sind. Aber mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich sowas aus dieser Aufgabe herausholen kann! Was muss ich machen, um hier weiter zu kommen? |
Thomas Fried
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Dezember, 2001 - 08:45: |
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Hallo ...
Ich habe mir jetzt alles nochmal angeschaut und die Ansätze habe ich, aber ich weis nicht genau wie ich das wirklich durchführen soll oder wie ich das aufschreiben soll.
a) Ich muss ja erst die Linearität zeigen für Matrizen A und B sowie einen Skalar k aus K für ein festes M:
D(A+B) = D(A) + D(B) sowie
D(k*A) = k*D(A)
Naja ... die Definition kann ich aber nicht so ganz anwenden! Wie gehe ich jetzt am besten vor?
Wenn ich zeigen will, dass V ein endlich-dimensionaler Raum ist, gilt ja:
D ist genau dann surjektiv, wenn D injektiv ist, oder?
Ich würde gerne zeigen, dass D nicht injektiv ist, egal wie M aussieht, aber wie mache ich das?
Bei b) und c) weiss ich noch nicht so ganz. Aber ich habe mir gedacht ich nehme eine Matrix
[ u v ]
[ w x ]
und rechne das mal aus. In dieser Matrix müssten ja ein paar linear unabhängige Gleichungen sein und ich hätte meine Basis und die Dim, aber wie kriege ich den Kern denn raus?
Wäre nett, wenn heute noch Hilfe käme. Danke! |
Graf Rotz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Dezember, 2001 - 12:21: |
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a) delta ist linear: delta(X+Y) =[nach Def der Aufgabe] (X+Y)*M-M*(X+Y) =[umgeformt] (XM-MX)+(YM-MY) = delta(X) + delta(Y) q.e.d
Teil 2: nimm ein k und setze wieder die Def der Aufgabe ein: delta(k*X)=(k*X)*M-M*(kX)=kXM-kMX=k*(XM-MX)=k*(delta(X)) |
Graf Rotz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Dezember, 2001 - 12:22: |
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a) delta ist linear: delta(X+Y) =[nach Def der Aufgabe] (X+Y)*M-M*(X+Y) =[umgeformt] (XM-MX)+(YM-MY) = delta(X) + delta(Y) q.e.d.
Teil 2: nimm ein k und setze wieder die Def der Aufgabe ein: delta(k*X)=(kX)*M-M*(kX)=kXM-kMX=k*(XM-MX)=k*(delta(X)) q.e.d. |
Thomas Fried
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Dezember, 2001 - 15:15: |
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Hallo Graf Rotz,
ich konnte das alles sehr gut nachvollziehen und habe gerade nochmal alles durchgerechnet.
Sollte man generell beim Nachweis der Linearität die Umformungen per Matrizenmultiplikation angeben oder und ist dies nicht nötig.
Hättest du vielleicht eine Idee wie ich den Kern in Aufgabe b) bestimmen könnte?
Danke nochmal |
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