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Olaf (Oschei)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 19:16: | 
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Kann mir jemand erklären wie der Householder Algorithmus funktioniert.
Weiss zwar dass er für überbestimmte Systeme ist aber was heissen die Formeln in verständlicher Form ?
Vielleicht weiss du es ja wieder MegaMath ?
Jedenfalls vielen Dank im voraus !!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 09:57: |
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Hi Olaf,
Als hauptberuflich tätiger Hausmann und nebenberuflich
wirksamer Mathematiker tangiert mich Deine Anfrage
bezüglich des Householder-Problems sehr wohl,
dies umso mehr, als Deine Anfrage direkt an meine Adresse
geht.
Die Bezeichnung kann irritieren, nicht in jedem
Lexikon findet man den Begriff, wohl aber in
Wörterbüchern Englisch –Deutsch , etwa so:
House- holder :
1.Haushaltsvorstand ; 2.Haus-oder Wohnungsinhaber
Spass beiseite.
Es handelt sich um Matrizen, die im Jahr 1959 von
A.S.Housholder eingeführt wurden
(on certain methods for expanding the characteristic
polynomial and for the solution of the algebraic
eigenproblem).
Es würde das mir vorgegebene Budget an Raum
und Zeit sprengen, wenn ich näher auf dieses interessante
Teilgebiet der Matrizenrechnung eingehen würde.
Ich muss mich mit zwei Literaturangaben begnügen:
a)
R.Zurmühl , Matrizen, Springer-Verlag 1964
als Standardwerk
b)
W.Oevel, Einführung in die numerische Mathematik,
Spektrum-Verlag, 1996.
Das Buch enthält zahlreiche interessante Artikel,
unter anderem:
Die Spiegelung an einer Ebene des R2
(und an Hyperebenen) wird durch
Householder-Matrizen beschrieben.
Die QR-Faktorisierung.
Jede quadratische Matrix A kann durch Multiplikation
mit einer orthogonalen Matrix Q (Transp) auf obere
Dreiecksform R transformiert werden.
Diese Matrix wird als das Produkt von Householder-Matrizen
ermittelt.
Die Householder -Transformationen werden ausführlich
beschrieben und mit einem Pascal-Programm
in die Praxis umgesetzt.
Hoffentlich genügen diese Angaben !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 11:48: |
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Hi Olaf,
Ich habe zu Deinem Thema zwei passende Aufgaben
auf Lager, die ich hier gerne zur Lösung freigebe.
1.Aufgabe.
U sei die (1,5) -Matrix U = [ ¾ ,1/6, ¼ , 5/12, 5/12],
V die dazu transponierete (5,1) –Matrix :
V = transpose(U) nach Maple.
a)
Ermittle die Produkte W = U.V und Z = V.U
der Matrizen U und V.
Berechne die Determinante det(Z)
b)
Bestimme die nach dem amerikanischen Mathematiker
A.S.Householder benannten Matrix H, die so definiert ist:
(E ist die (5,5) –Einheitsmatrix)
H = E – 2 * Z
°°°°°°°°°°°°°+
c)
Man beweise, dass für eine Householder-Matrix H stets gilt
H = K und K.H = E ,wobei K die zu H Transponierte darstellt.
d)
Verifiziere die Aussagen unter c) am numerischen Beispiel
e)
Man berechne die Spur S der Matrix H aus Teilaufgabe b)
(S ist die Summe der Elemente der (5,5)-Matrix in ihrer
Hauptdiagonalen).
2.Aufgabe
Im R3 ist die durch den Nullpunkt gehende Ebene E
durch die Gleichung x + 2 y + 2 z = 0 gegeben.
Man bestimme die zugehörige Householder –Matrix H,
welche die Spiegelung an E bewerkstelligt
gemäss der Beziehung
v ` = H v
v ` ist der an E gespiegelte Vektor zu v.
Man berechne auch hier die Spur S von H.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Allmut
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 23:28: |
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Erstaunlich! Kein Dank für die Hilfe. Das vermisse ich bei den Hilfesuchenden.
Gruß A. |
Olaf (Oschei)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 21:35: |
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Hallo Megamath,
Ich habe im Moment ganz schön viel Streß.
Dieses Semester 11 Scheine.
Das finde ich ja super dass du mir eine so ausführliche Lösung schickst.
Ich wünschte wir hätten dich als Prof denn unser Prof. setzt erklärt fast gar nichts.
Apropo Haushälter:Einen Haushälter könnte ich auch gut gebrauchen :-) *fg*
mfg
Olaf. |
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