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Anna
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 18:57: | 
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Hi,
Sei R[x, y] der Polynomring in zwei Variablen über den reellen Zahlen und
A:= R[x, y] / ( x ² + y ² -1) der Restklassenring.
Sei K = S^(-1) * A , wobei S = {A\0}.
Ferner ist
R(t) = { f(t) / g(t) : f, g aus R[t]} =
= S^(-1) * R[t].
Finden Sie den Ringisomorphismus
R(t) ---> K.
Verändert sich das Resultat bei Änderung des Grundkörpers von R nach Q ?
Finden Sie mit Hilfe des Ringisomorphismus für Q alle ganzzahligen Lösungen von
a ² + b ² = c ² .
Vielen Dank für jede Hilfe.
Anna |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 10:00: |
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Hallo, Anna!
Ein Ringisomorphismus f:R(t)--->K wird zum Beispiel dadurch gegeben, daß man t auf (1-y)/x abbildet. Die Umkehrabbildung g:K--->R(t) wird dadurch gegeben, daß man x auf 2t/(1+t2) und y auf (1-t2)/(1+t2) abbildet.
Natürlich muß man sich dazu einiges überlegen! Nämlich zuerst, daß die beiden Abbildungen wohldefiniert sind. Für f bedeutet dies, daß man einsehen muß, daß die Abbildung R[t]--->K, t geht auf (1-y)/x, injektiv ist - nur dann faktorisiert sie über den Quotientenkörper R(t). Für g muß man zunächst von der Abbildung R[x,y]--->R(t), die x auf 2t/(1+t2) und y auf (1-t2)/(1+t2) schickt, ausgehen, und nachrechnen, daß sie x2+y2+1 auf null abbildet (dies rechnet man sofort nach!). Man erhält also eine induzierte Abbildung A--->R(t). Um zu sehen, daß diese über die Lokalisierung K faktorisiert, muß man auch hier sehen, daß sie injektiv ist. Schließlich muß man noch nachrechnen, daß fg(x)=x, fg(y)=y, gf(t)=t gilt (was auch leicht ist!), wodurch man beweist, daß f und g tatsächlich invers zueinander sind.
(Für die Sache mit der Injektivität bin ich jetzt zu faul, da mußt Du selbst mal gucken!)
So, damit haben wir also unseren Ringisomorphismus f. Offenbar geht bei Q alles genauso, da wir in unseren Abbildungen sowieso nur Konstanten aus Q benutzt haben (nämlich nur 1, -1 und -2). Wir erhalten also ganz genauso Ringisomorphismen f:Q(t)--->S-1Q[x,y]/(x2+y2+1) und g:S-1Q[x,y]/(x2+y2+1)--->Q(t).
Was hat all das jetzt mit ganzzahligen Lösungen der Gleichung a2+b2=c2 zu tun? Nun, solche Lösungen korrespondieren zu rationalen Lösungen der Gleichung x2+y2=1! (Haben wir eine Lösung (a,b,c) der einen Gleichung, so ist offenbar (a/c,b/c) eine Lösung der anderen. Ist umgekehrt (x,y) eine Lösung der zweiten Gleichung mit rationalen x,y, so können wir x und y auf den Hauptnenner bringen und schreiben als x=a/c, y=b/c; dann ist (a,b,c) eine Lösung der ersten Gleichung. Fordert man, daß a,b,c paarweise teilerfremd sind, so ist die Korrespondenz zwischen den Lösungsmengen der beiden Gleichungen sogar eine Bijektion, wie man sich leicht überlegt.
Und was haben nun rationale Lösungen von x2+y2=1 mit obigen Ringen und Ringisomorphismen zu tun? Ist q eine rationale Zahl ungleich null, so zeigen obige Rechnungen, daß (m,n) mit m:=g(x)(q) und n:=g(y)(q) eine Lösung der Gleichung (mit n ungleich null) ist, und daß man aus dieser Lösung q wieder zurückerhält, wenn man f(t)(m,n) berechnet. Geht man umgekehrt von einer Lösung (m,n) aus (mit n ungleich null!!), so erhält man durch f(t)(m,n) eine rationale Zahl q ungleich null, die wiederum m=g(x)(q), n=g(y)(q) erfüllt. Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion von Q auf alle Lösungen (m,n) mit n ungleich null. Die beiden fehlenden Lösungen sind (1,0) und (-1,0).
Beispiel: Setzen wir q=1/2. Dann ergibt sich:
m=g(x)(q)=2t/(1+t2)(1/2)=4/5, n=g(y)(q)=(1-t2)/(1+t2)(1/2)=3/5;
und tatsächlich gilt (4/5)2+(3/5)2=1, und bringen wir 4/5 und 3/5 auf den Hauptnenner 5 und multiplizieren mit 25, so erhalten wir die "prominenteste" ganzzahlige Lösung (4,3,5) von a2+b2=c2. |
Anna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 16:21: |
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Lieber Lars!
Etwas verspaetet noch vielen, vielen Dank! Du bist ein wahrer Lebensretter!
Liebe Gruesse, Anna |
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