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Vektorraum einer Polynomenfunktion

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Vincent
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 18:55:   Beitrag drucken

Hi!

Ich habe in letzter Zeit ein ernsthaftes Problem mit LA! Ich lese mir die Sachen durch und denke auch, dass ich sie verstanden habe, aber wenn es an Aufgaben geht, habe ich überhaupt keine Ahnung wo ich anfangen soll!?! Hier eine der neuen Übungen; vielleiht könnt ihr mir ja einen Tip geben wie ich da ran gehen soll?

1) Es sei V der R-Vektorraum der Polynomfunktionen f : R ® R vom Grad £ 3.

Man betrachte nun die Abbildung
D : V ® V , gegeben durch D(f(x)) = af(x) + (bx+c)f-1(x)

a) Zeige, dass D linear ist, bestimme eine Basis von V und beschreibe D bezüglich dieser Basis durch eine Matrix.

b) Bestimme den Rang von D (in Abhängigkeit von a,b,c).


Naja,ich hoffe doch jemand von euch kann mir sagen wie ich hier so anfangen muss und worauf ich vielleicht achten sollte, um eigen Lösungen entwickeln zu können.

Danke.
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Lars Brünjes (Lbrunjes)
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Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 10:20:   Beitrag drucken

Hi, Vincent!

Irgendwas kann da nicht stimmen bei der Abbildungsvorschrift mit dem Exponenten (-1), denn wenn z.B. a=b=c=0, würde da ja D(f(x))=f-1(x) stehen, was offenbar kein Polynom ist! Vielleicht meinst Du stattdessen die erste Ableitung? Das würde Sinn machen!

Grundsätzlich ist zu sagen: Definitionen lesen und stur abarbeiten. In a) sollst Du z.B. zeigen, daß D linear ist. Was heißt das? Wie ist das definiert? Okay, es muß gelten D(f+g)=D(f)+D(g) und D(af)=aD(f) für f,g aus V und a reell. Na ja, und dann setzt Du halt die Abbildungsvorschrift für D ein (kann ich jetzt leider nicht vormachen - siehe oben) - und rechnest nach, ob's stimmt!

Außerdem sollst Du D durch eine Matrix beschreiben, also schaust Du nach, was nach Definition die Matrix zu einer linearen Abbildung ist! Da wird in Deiner Vorlesung stehen, daß Du zunächst eine Basis der beteiligten Vektorräume brauchst, in unserem Fall also eine Basis von V. Nun, da gibt es viele, aber die offensichtlichste ist wohl die mit den Elementen 1,x,x2 und x3. Okay, dann mußt Du D auf diese Elemente anwenden usw.

Vielleicht hast Du Probleme damit, Dir einen Vektorraum "vorzustellen"? Insbesondere einen "Vektorraum der Polynomfunktionen"? Dann mein Rat: Versuch es gar nicht! Man wird nicht dadurch ein guter Mathematiker, daß man sich alles "vorstellen" kann, sondern Du mußt lernen, stur die Definitionen und Sätze anzuwenden, vor allem in Situationen, die so abstrakt sind, daß man sich nichts mehr vorstellen kann! Wenn Du Dir immer alles vorstellen könntest, bräuchtest Du keine mathematischen Sätze, dann reichte der "gesunde Menschenverstand"!

Viel Erfolg!

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