Autor |
Beitrag |
Curti
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 18:30: |
|
Hallo, Mit dieser Aufgabe weiss ich nichts anzufangen. Kann mir jemand helfen ? Vielen Dank im voraus ! Die Aufgabe lautet Man bestimme eine Gleichung der Hüllkurve der Kreisschar (x-k)^2 + (y-1)^2 = 2 k – k^2 Für den Parameter k gilt: 0 < = k < = 2. Curti |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 21:07: |
|
Hi Curti Für die Mittelpunkte M der Kreise gilt: M (k/1) ; sie liegen auf einer Sterecke der Länge 2 auf der Parallelen zur x-Achse im Abstand 1 . Das Quadrat des Radius ist r^2 = k*(2-k) ; der Radius variiert von null bis 1 und wieder zurück bis null. Wir differenzieren die Funktion F(x,y,k) = (x- k)^2 + (y-1)^2 - 2k + 2k^2 partiell nach dem Parameter k und setzen diese Ableitung sowie F selbst null. Aus den beiden Gleichungen eliminieren wir k; was übrig bleibt, ist die Gleichung der Enveloppe oder der Umhüllenden. Ausführung partielle Ableitung nach k null gesetzt: -2 (x-k) – 2 + 2 k = 0 , daraus k = ½ + ½ *x , eingesetzt in F = 0 gibt eine Gleichung zweiten Grades in x und y, nämlich: x ^ 2 – 2 x + 2 y ^ 2 – 4 y + 1 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Dies ist die Gleichung einer Ellipse, deren Achsen zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen; der Mittelpunkt ist der Punkt M(1/1). Eine Parallelverschiebung des Systems auf M gemäss den Gleichungen x = X +1 , y = Y + 1 führt auf die einfachere Gleichung X ^ 2 + 2 * Y ^ 2 = 2 , woraus man die Halbachsen a = wurzel(2) und b = 1 ablesen kann. Dieses Resultat war aus geometrischen Gründen cum grano salis zu erwarten. Gruss H.R.Moser,megamath. |
Curti
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 13:45: |
|
Hallo H.R.Moser,megamath Vielen Dank für Deine Lösung Ich habe einiges dazu gelernt. Curti |
|