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Umhüllende einer Kreisschar

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Curti
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 18:30:   Beitrag drucken

Hallo,

Mit dieser Aufgabe weiss ich nichts anzufangen.
Kann mir jemand helfen ?
Vielen Dank im voraus !
Die Aufgabe lautet
Man bestimme eine Gleichung der Hüllkurve
der Kreisschar (x-k)^2 + (y-1)^2 = 2 k – k^2
Für den Parameter k gilt: 0 < = k < = 2.

Curti
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 21:07:   Beitrag drucken

Hi Curti

Für die Mittelpunkte M der Kreise gilt:
M (k/1) ; sie liegen auf einer Sterecke der Länge 2
auf der Parallelen zur x-Achse im Abstand 1 .
Das Quadrat des Radius ist
r^2 = k*(2-k) ; der Radius variiert von null bis 1
und wieder zurück bis null.
Wir differenzieren die Funktion
F(x,y,k) = (x- k)^2 + (y-1)^2 - 2k + 2k^2
partiell nach dem Parameter k und setzen diese Ableitung
sowie F selbst null. Aus den beiden Gleichungen eliminieren
wir k; was übrig bleibt, ist die Gleichung der Enveloppe oder
der Umhüllenden.
Ausführung
partielle Ableitung nach k null gesetzt:
-2 (x-k) – 2 + 2 k = 0 , daraus k = ½ + ½ *x ,
eingesetzt in F = 0 gibt eine Gleichung zweiten Grades
in x und y, nämlich:
x ^ 2 – 2 x + 2 y ^ 2 – 4 y + 1 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist die Gleichung einer Ellipse, deren Achsen
zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen;
der Mittelpunkt ist der Punkt M(1/1).
Eine Parallelverschiebung des Systems auf M gemäss den
Gleichungen x = X +1 , y = Y + 1 führt auf die einfachere Gleichung
X ^ 2 + 2 * Y ^ 2 = 2 , woraus man die Halbachsen
a = wurzel(2) und b = 1 ablesen kann.
Dieses Resultat war aus geometrischen Gründen
cum grano salis zu erwarten.

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Curti
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 13:45:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath

Vielen Dank für Deine Lösung
Ich habe einiges dazu gelernt.

Curti

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