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Teufelinchen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 17:54: | 
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Versuche schon seit Tagen diese Aufgabe zu lösen, wer kann mir helfen ?
an:= √2 ∙ (4 hoch –n) ∙ (2n über n)
ich soll beweisen, dass die Folge monoton wächst und beschränkt ist. |
Teufelinchen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 17:58: |
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wieso zeigt er das nicht richtig an ?
Also die Folge an:= (Wurzel aus n) mal (4 hoch -n) mal (2n über n) |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 21:37: |
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Hallo Teufelinchen,
Monotonie könnte so nachgewiesen werden, denke ich:
Bilde das Verhältnis von
an = Ön *4-n (2nn) zu
an+1 = Ö(n+1) *4-n-1 (2n+2n+1)
und zeige, dass es kleiner als 1 ist => die Folge ist monoton wachsend:
an / an+1 = ( Ön *4-n (2nn) )/( Ö(n+1) *4-n-1 (2n+2n+1 )
= Ö(n/(n+1)) *4 *(2n)!/( (2n-n)! * n! ) /( (2n+2)*(2n+1)*(2n)! / (2n+2-(n+1))!*(n+1)! )
= Ö(n/(n+1)) *4 *(2n)!/( n! * n! ) /( (2n+2)*(2n+1)*(2n)! / (n+1)*n!*(n+1)*n! )
= Ö(n/(n+1)) *4 /( (2n+2)*(2n+1)/ (n+1)(n+1) )
= Ö(n/(n+1)) *4 *(n+1)²/( (2n+2)*(2n+1) )
= Ö(n/(n+1)) *4 *(n+1)²/( 2(n+1)*(2n+1) )
= Ö(n/(n+1)) *2 *(n+1)/(2n+1)
= Ö(n/(n+1)) *Ö4 *Ö((n+1)²) /Ö((2n+1)²)
= Ö( n/(n+1) * 4 * (n+1)² /(2n+1)² )
= Ö( n * 4 *(n+1) /(4n²+4n+1) )
= Ö( (4n² +4n) / (4n²+4n+1) )
Im Radikand ist der Zähler für alle n kleiner als der Nenner,
also folgt an < an+1, also ist die Folge monoton wachsend.
Wie sieht eigentlich die Definition von "beschränkt" aus?
heißt das, dass die Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt sein muss?
Untere Schranke:
Das erste Folgenglied ist gleich
a1 = Ö1 *4-1 (21) = 2/4=1/2
Die Folge hat eine untere Schranke bei 1/2.
Zur Festlegung der oberen Schranke bin ich leider auf nichts brauchbares gekommen. |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 21:42: |
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Hallo :
Hinweis: Rechne nach, dass
a(n+1)/a(n) = (n + 1/2)/sqrt[n(n+1)]
Elementare Algebra zeigt, dass dies > 1 ist, fŸr
alle n.
Die Stirling'sche Formel (lernt man in der Vorlesung) zeigt Ÿbrigens, dass
lim a(n) = 1/sqrt(pi).
mfg
birdsong |
Susanne (Teufelinchen)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 08:42: |
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Danke, hat mir sehr geholfen, die obere Schranke lag bei (1/Wurzel 2) falls es noch irgendjemand wissen möchte. Die Stirlingsche Formel hatten wir leider noch nicht, deshalb konnte ich sie auch nicht anwenden.
mfg Teufel |
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