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Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 16:16: | 
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Hallo, es soll gezeigt werden, dass
zn stärker gegen 0 als nk gegen oo geht.
Dabei gibt es zwei Schritte (habe ich rot markiert), die ich nicht verstanden habe.
Zum Beweis wird ein Term für die Folge an aufgestellt:
an = nk * zn, wobei k € IN, z € C mit |z| < 1 ist.
Um die oben in Worten formulierte Behauptung zu beweisen,
wird diese mathematisch so formuliert:
an ® 0 für n ® ¥
Der Beweis soll sein:
Mit an = nk * zn gilt auch an+1 = (n+1)k * zn+1
Es sei cn = nk * |z|n und damit auch cn+1 = (n+1)k * |z|n+1
Dann gilt:
cn+1 / cn = (1 + 1/n)k |z|
Für die Faktoren auf der rechten Seite gilt:
(1 +1/n)k ® 1 und |z| < 1
setze d=( |z|+1 )/2 , es gilt d < 1
Wegen (1 +1/n)k ® 1 existiert ein N € IN mit (1 +1/n)k |z| £ d für n ³ N
n > N:
cn £ cNdn-N ® 0, da dn-N ® 0 für n ® ¥ geht.
cn = |an|, und wenn cn ® 0, dann folgt:
an ® 0.
Also wie schon markiert, ich verstehe nicht, warum folgen soll, dass alle Folgenglieder der Folge (1 +1/n)k |z| ab einem bestimmten n=N an immer kleiner oder gleich dem darüber eingeführten d sein müssen.
An sich ist es klar, dass die Glieder einer konvergenten Folge irgendwann einmal kleiner werden als jedes Epsilon, nur, wie der Zusammenhang hier mit dem d=( |z|+1 )/2 sein soll, verstehe ich nicht.
Die Umformung d=( |z|+1 )/2 <=> |z| = 2d-1 konnte ich auch nicht sinnvoll einsetzen, um doch noch zu verstehen.
Und wie soll man darauf kommen, dass cn £ cNdn-N gefolgert wird.
Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, woran man das erkennen kann? |
Daniel
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 14:35: |
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...naja, ich könnte ja denken:
'Wenn das von euch auch keiner weiß, warum soll ich das dann wissen?'
Aber irgendwie hätte ich ein besseres Gefühl, wenn diese Lücke ausgefüllt wäre...
Die zweite Frage braucht vielleicht gar nicht beantwortet zu werden, ich könnte mir vorstellen, dass ich weiterkäme, wenn eine Antwort auf die erste Frage die Lücke bereits schließt. |
Cooksen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 20:28: |
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Hallo Daniel!
So wie d definiert ist, liegt d genau in der Mitte zwischen |z| und 1, also
|z| < d < 1, denn d = |z| + (1/2)*(1 - |z|)
Aus (1 + 1/n)k ® 1
folgt (1 + 1/n)k|z| ® |z|.
Genauer: Die Folge nähert sich ihrem Grenzwert von oben, d.h.
|z| < (1 + 1/n)k|z|.
Gemäß Definition der Konvergenz liegen also ab einem gewissen N alle Folgenglieder näher an |z| als d:
Für n < N gilt
| (1 + 1/n)k|z| - |z| | < | d - |z| |.
Wegen der oben beschriebenen Größenbeziehungen kannst Du die äußeren Beträge weglassen:
(1 + 1/n)k|z| - |z| < d - |z|
=> (1 + 1/n)k|z| < d für n > N
Für n > N gilt dann:
cn = (cn/cn-1)* (cn-1/cn-2)* ... *(cN+1/cN) * cN
= [(1 + 1/n)k*|z|]n-N * cN
< dn-N * cN
q.e.d.
Wenn Du n = N zulässt, also n £ N, dann musst Du natürlich auch in der Abschätzung £ zulassen. Aber das sind nur Randerscheinungen.
Den Rest des Beweises hast Du ja verstanden.
Frohes Fest Cooksen |
Daniel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 22:09: |
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Hallo Cooksen, vielen Dank für diese prompte Weihnachtsüberraschung.
Eine Frage habe ich noch dazu: muss es bei:
"Gemäß Definition der Konvergenz liegen also ab einem gewissen N alle Folgenglieder näher an |z| als d:
Für n < N gilt"
nicht heißen:
"Für n > N gilt" ?
Ich wünsche ein gutes Jahr. |
Daniel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 11:01: |
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Hallo, es gibt noch eine Sache, die mir nicht klar ist: ich verstehe nicht, warum
cn = (cn/cn-1)* (cn-1/cn-2)* ... *(cN+1/cN) * cN = [(1 + 1/n)k*|z|]n-N * cN gelten soll.
Wenn ich richtig überlegt habe, dann besteht das
(cn/cn-1)* (cn-1/cn-2)* ... *(cN+1/cN) aus n-N Faktoren, soll das deswegen gleich dem [(1 + 1/n)k*|z|]n-N sein, weil jeder dieser Faktoren aus den c's genau einem Faktor von [(1 + 1/n)k*|z|] entspricht?
Das hieße doch, dass z.B. die Werte von (cn/cn-1) und (cn-1/cn-2) gleich groß wären. Sind die nicht verschieden? |
Daniel
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 12:35: |
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Könnte mir bitte nochmal jemand etwas hierzu sagen? |
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