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Eindeutigkeit & Existenz

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Katharina (Unknown)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 00:21:   Beitrag drucken

Hallo zusammen!

Und mal wieder ein kleines Problem von mir :-) .

Sei also F:|R -> |R ein Funktion zu der es eine Zahl q aus |R, 0<q<1 gibt, so daß für alle x,y aus |R folgendes gilt:

|F(x)-F(y)|<= q|x-y|

Zu zeigen ist die Eindeutigkeit und Existenz von
F(a) = a mit a aus |R ,
sowie a_(n+1) = F(a_n), a_0 aus |R aber beliebig.

=> lim (a_n) = a

Könnte für den ersten Teil F(a):= F(y) setzen, die Formel dann nach F(a) umstellen, das ganze dann parallel zu a:=y machen und dann F(a) = a setzen??? Wenn ja wie zeig ich dann die Eindeutigkeit, da ja jeweils die Terme mit "<=" oder ">=" verglichen werden. Falls nich - bin für dämtliche Verbesserungsvorschläge zu begeistern...

Für den zweiten Teil muß ich ja zwei andere Folgen definieren, für die gilt
b_n <= a_n <= c_n und lim(b_n)= a =lim(c_n)...
Aber wie sollten diese beiden folgen denn nun genau aussehen???

Wäre für jede Hilfe dankbar

LG KATHI
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Mulder
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Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 12:49:   Beitrag drucken

Eindeutigkeit ist trivial, denn gäbe es a<>b mit F(a)=a, F(b)=b, so
|a-b| = |F(a)-F(b)| <= q|a-b| < |a-b| Widerspruch.
Zur Existenz:
Setze a_n+1 := F(a_n), a_0 := c bel.
Dann ist
|a_n+1-a_n| = |F(a_n)-F(a_n-1)| <= q |a_n-a_n-1| = q|F(a_n-1)-F(a_n-2)| <= q^2|...| ...
<= q^n|F(c)-0|
Folglich strebt (a_n+1 - a_n)->0 für n->infty, also a_n Cauchy-Folge in R, damit konvergent gegen ein a in R.
Da F auch stetig (folgt trivial aus der Vor.), gilt

a = lim a_n = lim F(a_n-1) = F(lim a_n-1) = F(a)

also a Fixpunkt.

q.e.d.

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