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Beitrag |
    
Heiko M.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 16:07: | 
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a:= 2 + Wurzel aus 2
b:= 2 - Wurzel aus 2
und für x Element von |R sei [x] Element von Z die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit [x] <= x < [x]+1
Man zeige nun:
a) a^n + b^n = [a^n] + 1 ist Element der natürlichen Zahlen für alle n Element der nat.Zahlen!
b) a^n - [a^n] ist gleich 1, wenn n gegen Unendlich läuft
Bin ziemlich ratlos |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 13:55: |
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Heiko :
Hier ist Hilfe zur Selbsthilfe.
a,b sind die Wurzeln von x^2 - 4x + 2 = 0.
Wir kŸrzen ab:
a^n + b^n =: w(n).
Dann folgt aus obigem die Rekursionsformel
(rechne nach !)
w(n+2) = 4 w(n+1) - 2 w(n).
Wegen w(1) = 4 , w(2) = 12
folgt nun induktiv die Ganzzahligkeit aller w(n).
Der Rest sollte sich damit auch erledigen lassen.
mfg
birdsong |
Birdsong (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 14:44: |
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Hier ist der Rest :
a) Zu zeigen ist nach obigem
[a^n] = w(n) - 1.
Nach Definition der Ganzteilfunktion [ ] heisst
das
w(n) - 1 =< a^n < w(n) <==> 0 < b^n =< 1
Letzteres ist klar wegen 0 < b < 1.
b) a^n - [a^n] = a^n - w(n) + 1 = 1 - b^n
Wegen lim b^n = 0 folgt lim(a^n - [a^n]) = 1
(die Formulierung "ist gleich 1 wenn..." ist
irrefŸhrend).
Bemerkung (ketzerisch): Warum muss man sagen
"... ist Element der natŸrlichen Zahlen"
anstatt "...ist eine natŸrliche Zahl" ?
mfg
birdsong |
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