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Beitrag |
    
Eva
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 15:36: | 
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1.)Aus der Regel zur Differentation eines
Produktes ist diejenige für die Differentation
eines Quotieten herzuleiten????
2.)Mit Differntialrechnung und mit elementaren
Methoden ist zu zeigen, daß das Quadrat bei
gegebenem Umfang dasjenige Rechteck ist,
welches den größten Flächeninhalt besitzt.
Danke an euch |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 17:16: |
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Hallo!
1.)
Die Produktregel lautet:
Wenn f(x) = u(x) * v(x), dann ist f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
Um nun die Quotientenregel damit herzuleiten setzt man für v(x) einfach 1/z(x). Die Ableitung v'(x) ist jetzt -1/z²(x) * z'(x) (Achtung: Kettenregel). Beides setzt man nun in die Produktregel ein:
Wenn f(x) = u(x) * 1/z(x) = u(x) / z(x), dann ist
f'(x)
= u'(x) * 1/z(x) + u(x) * -1/z²(x) * z'(x)
= u'(x) / z(x) - [u(x) * z'(x)] / z²(x)
= [u'(x) * z(x)] / z²(x) - [u(x) * z'(x)] / z²(x)
= [u'(x) * z(x) - u(x) * z'(x)] / z²(x)
2.)
Angenommen, die Rechteckseiten heißen a und b, dann lautet die Extremalbedingung:
A(a,b) = a * b
Leider ist diese Funktion von zwei Variablen abhängig, nämlich a und b; wir wollen aber zeigen, dass b für maximale Fläche A genauso lang sein soll wie a, d.h. bmax=a, also müssen wir eine nur von b abhängige Funktion bekommen. Wir brauchen eine Nebenbedingung. Diese ist durch den Umfang gegeben:
U = 2*a + 2*b <=> a = (U/2 - b)
Einsetzten in die Extremalbedingung liefert eine Funktion von b (denn U ist ja vorgegeben):
A(b) = (U/2 -b) * b = (U/2)*b - b²
Um das b zu berechnen, für das diese Funktion maximal wird, muss die Ableitung Null gesetzt werden (waagerechte Tangente):
A'(b) = -2*b + U/2 = 0 => bmax = U/4
Für b = U/4 wird die Fläche also maximal groß.
Setzen wir das Ergebnis einmal in die Nebenbedingung ein:
U = 2*a + 2*(U/4) <=> a = U/4 => bmax = a
q.e.d.
MfG, Integralgott |
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