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Beitrag |
    
Helmi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 09:59: | 
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Hallo,
Ich suche Hilfe für die Lösung einer Aufgabe
über Abbildungen in der komplexen Zahlenebene.
Für Anleitungen jeder Art bin ich sehr dankbar.
Hier das Problem:
Man weise nach, dass durch die Abbildungsgleichung
w = (z+2i) / (2iz-1)
der Kreis abs(z) = 1 auf den Kreis abs(w) = 1
abgebildet wird.
Helmi |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 11:18: |
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Hi Helmi,
Die zu w konjugiert komplexe Zahl soll mit w´
bezeichnet werden; entsprechend ist z´ die
konjugiert komplexe Zahl zu z.
abs (w) =1, .d.h. der Einheitskreis in der w-Ebene,
kann durch die Beziehung
w * w´ = 1 charakterisiert werden, analog ist
abs ( z ) = 1 äquivalent mit z * z ´ = 1 :
Bedeutung: z liegt auf dem Einheitskreis der z-Ebene.
Wir transformieren die Gleichung w * w ´= 1 gemäss
der Abbildungsgleichung; das Resultat wird sein
z *z´= 1 , womit der Beweis dann geleistet ist.
Bei der Durchführung benützen wir die Tatsache ,
dass man bei der Bildung des konjugiert Komplexen
eines Term gliedweise operieren kann:
Summand für Summand, Faktor für Faktor
Zähler für Zähler , Nenner für Nenner, Auge um Auge,
Zahn um Zahn etc.
Ausführung
w ´= [z´ - 2 i ] / [ - 2 i z´- 1 ] , daraus:
w * w ´= (z + 2 i) * (z ´- 2 i )] / [( 2 i z – 1 ) * (-2 i z´- 1)]
= [z z ´-2i(z-z´) +4] / [4 zz´-2i(z-z´)+1]
Aus w * w´ = 1 folgt:
4 z z ´ - 2 i z + 2 i z´ + 1 = z z ´ - 2 i z + 2 i z ´ + 4 oder
z z ´ = 1 , w.z.b. w.
MfG
H.R.Moser,megamath. |
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