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Beitrag |
    
Manuel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 07:27: | 
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Helft mir;ich schreibe Montag Klausur und kann nicht mal so'ne Aufgabe rechnen.
Gegeben:Funktion f(x)=3*(5-x)~1/2
Die Tangente an den Graphen von f durch den Punkt (1,f(1)),die x-Achse und der Graph von f schließen eine Fläche ein.Der Inhalt der Fläche muß nun berechnet werden.
Erstes großes Problem:Ich komme nicht auf die richtige Tangente.Über die weiteren Folgen bin ich mir auch nicht 100%in Klaren
Danke schon mal |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 09:01: |
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Hallo Manuel
f(x)=3*(5-x)1/2 (hoffe ~ bedeutet "hoch")
Zuerst den y-Wert von P berechnen:
f(1)=3(5-1)1/2=3*41/2=3*Ö4=3*2=6
also P(1/6)
Die Tangentensteigung ist die 1. Ableitung an der Stelle x=1; also
f'(x)=3*(1/2)(5-x)-1/2*(-1)
=-3/(2*(5-x)1/2)
=> f'(1)=-3/(2*(5-1)1/2)=-3/(2*2)=-3/4=m
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
y=mx+b
hier nun die Koordinaten von P und die Steigung m einsetzen, ergibt
6=-(3/4)*1+b <=> 6=-(3/4)+b <=> b=6+(3/4)=27/4
Die Tangentengleichung lautet also y=-(3/4)x+(27/4)
oder (mit Dezimalzahlen) y=-0,75x+6,75
================================================
Flächeninhalt:
Zunächst die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse bestimmen:
f(x)=0
<=> 3(5-x)1/2=0 |:3
<=> (5-x)1/2=0 |quadrieren
=> 5-x=0 |+x
=> x=5
Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse bestimmen:
y=-0,75x+6,75=0
<=> 0,75x=6,75 |:0,75
<=> x=9
Das gelbe Flächenstück ist also zu berechnen.
Es ergibt sich aus der Subtraktion der Fläche
unter der Tangente im Bereich 1 bis 9 und der
Kurve im Bereich 1 bis 5.
A=ò1 9(-0,75x+6,75)dx-ò1 5(3*(5-x)1/2)dx
=[-0,375x²+6,75x]91-3*[-(2/3)(5-x)3/2]51
=|-0,375*81+6,75*9-(-0,375*1+6,75)|-3*|-(2/3)*(5-5)3/2-(-(2/3)*(5-1)3/2)|
=|-30,375+60,75-(-0,375+6,75)|-3*|-(-(2/3)*43/2)|
=|30,375-6,375|-3*|+16/3|
=24-3*(16/3)=24-16=8
Mfg K. |
Manuel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 08:37: |
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Vielen Dank,K.
Deine Lösung ist echt gut erklärt,wäre da alleine aber nie drauf gekommen. |
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