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Beitrag |
    
Susanne H.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 08:52: | 
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Hallo Zusammen,
ich hab follgende Aufgabe gestellt bekommen und weis nicht mehr weiter.
Kann mir jemand diese Schritt für Schritt erklären?
Gegeben ist diese Kurvenschar
fa(x):= 2x/(x²+a)² , a ungleich 0
Nun soll vom festen a der Definitionsbereich, die Nullstellen, Extrem- und Wendestellen bestimmt werden.
Für jede Hilfe bin ich dankbar! |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 10:17: |
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Hallo Susanne
Defintitionsbereich:
Schauen, für welche Werte von x die Nenner 0 wird.
Also
(x²+a)²=0 <=> x²+a=0 <=> x²=-a
=> x=±Ö(-a) für a<0
D={x € R|x<=>±Ö(-a), a<0}
Nullstellen: f(x)=0
<=> 2x/(x²+a)²=0 <=> 2x=0 <=> x=0 => N(0/0)
Ableitungen:
f'(x)= [2(x²+a)²-2x*2(x²+a)*2x]/(x²+a)4
=[2(x²+a)-8x²]/(x²+a)³
=(2a-6x²)/(x²+a)³
f"(x)=[-12x(x²+a)³-(2a-6x²)*3(x²+a)²*2x]/(x²+a)6
=[-12x(x²+a)-6x(2a-6x²)]/(x²+a)4
=[-12x³-12ax-12ax+36x³]/(x²+a)4
=(24x³-24ax)/(x²+a)4
Extrema: f'(x)=0
<=> (2a-6x²)/(x²+a)³=0
<=> 2a-6x²=0
<=> 6x²=2a
<=> x²=a/3
=> x1=Ö(a/3) und x2=-Öa/3)
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung auf Max und Min überprüfen:
f"(Ö(a/3))=-81aÖ(a/3)/16a4
Wegen 16a4>0 für alle a, braucht nur der Zähler überprüft werden; also
-81aÖ(3/a)>=0
<=> -aÖ(3/a)>=0
<=> a<0
=> Min für a<0 und Max für a>0
Für den zweiten x-Wert gilt es entsprechend umgekehrt.
Wendestelle f"(x)=0 ausrechnen
3. Ableitung bilden, diese muss <> 0 sein.
Mfg K. |
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